Soal Fisika Kelas 12 dan Pembahasannya : Relativitas Khusus

 Setelah membahas penyelesaian soal-soal fisika kelas 10 tentang vektor, gerak lurus, hukum Newton tentang gravitasi, dan soal-soal fisika kelas 11 tentang dinamika dan keseimbangan benda tegar, dalam buku Fisika Kelas 10 dan 11 SMA yang ditulis Marthen Kanginan dan diterbitkan oleh PT. Erlangga, kali ini kita bahas soal-soal fisika yang diambil dari buku kelas 12.

Dari buku ini, pilihan materi kita jatuh pada materi “Relativitas Khusus”. Banyak yang menganggap materi ini cukup sulit. Apa benar?

Yuk kita belajar bersama. Semoga pembahasan soal fisika tentang relativitas khusus untuk kelas 12 ini dapat membantu Anda dalam mempelajari materi tersebut.

1. Sebuah partikel yang bergerak dengan kelajuan 0,3c terhadap kerangka acuan laboratorium memancarkan sebuah elektron searah dengan kecepatan 0,3c relatif terhadap partikel. Laju elektron tadi menurut kerangka acuan laboratorium paling dekat nilainya dengan …

 Jawaban : 

Misalkan laboratorium dianggap sebagai kerangka acuan yang diam, partikel yang bergerak dianggap sebagai kerangka acuan yang bergerak, dan elektron merupakan objek yang diamati.

 

Kecepatan partikel relatif terhadap kerangka laboratorium (berarti kecepatan kerangka acuan bergerak relatif terhadap kerangka acuan diam yang diberi simbol v) adalah 0,3c. Ini kita tulis sebagai : v = 0,3c.

Kecepatan elektron relatif terhadap partikel (berarti kecepatan objek relatif terhadap kerangka acuan yang bergerak yang diberi simbol u’) adalah 0,3c. Ini kita tulis sebagai: u’ = 0,3c.

Kecepatan elektron menurut kerangka acuan laboratorium (berarti kecepatan objek menurut kerangka acuan diam yang diberi simbol u) dapat dihitung dengan persamaan penjumlahan kecepatan relativistik (kecepatan relativistik adalah kecepatan yang mendekati kecepatan cahaya) berikut:  $${u_x} = \frac{{u'{_x} + v}}{{1 + \frac{{vu'{_x}}}{{{c^2}}}}}$$  Indeks x dalam persamaan di atas menunjukkan bahwa gerak dianggap terjadi sepanjang sumbu x.

Dengan memasukkan nilai dari masing-masing kuantitas yang diberikan dapat diperoleh  $${u_x} = \frac{{0,3c + 0,3c}}{{1 + \frac{{\left( {0,3c} \right)\left( {0,3c} \right)}}{{{c^2}}}}} = \frac{{0,6c}}{{1 + 0,09}} = \frac{{0,6c}}{{1,09}} = 0,55c$$  Kita juga dapat menganggap partikel sebagai kerangka acuan diam.

Dengan acuan ini, maka laboratorium (sebagai kerangka acuan yang bergerak) akan tampak bergerak ke kiri dengan kecepatan v = -0,3c.

Kecepatan elektron menurut partikel (karena partikel dianggap sebagai kerangka acuan diam, maka simbol untuk kecepatan partikel adalah u) adalah u_x = 0,3c.

Karena kita akan menghitung u’_x, maka persamaan di atas kita transformasi, yakni u_x dalam persamaan di atas digantikan dengan u’_x dan sebaliknya serta v diubah menjadi bernilai negatif.

Jadi persamaan di atas berubah menjadi: $$u'{_x} = \frac{{{u_x} – v}}{{1 – \frac{{v{u_x}}}{{{c^2}}}}} = \frac{{0,3c – ( – 0,3c)}}{{1 – \frac{{( – 0,3c)(0,3c)}}{{{c^2}}}}} = \frac{{0,6c}}{{1 + \frac{{0,09{c^2}}}{{{c^2}}}}} = 0,55c$$

2. Dua roket saling mendekat dengan kelajuan sama relatif terhadap bumi. Jika kelajuan relatif roket satu terhadap roket lainnya adalah 0,80c maka kelajuan roket adalah …

Jawaban : 

Anggap bumi sebagai kerangka acuan diam. Pilih salah satu roket sebagai kerangkan acuan yang bergerak dan roket lainnya sebagai objek yang diamati.

Kecepatan roket (yang ditetapkan sebagai kerangka acuan bergerak) terhadap bumi (yang ditetapkan sebagai acuan diam) dinyatakan dengan v. Kecepatan roket lainnya (yang dianggap sebagai objek) relatif terhadap roket yang dianggap sebagai kerangka acuan bergerak dinyatakan dengan u’_x = -0,80c.

Dalam soal kelajuan kedua roket terhadap bumi sama, berarti v = u_x.

Jadi, dengan menggunakan persamaan penjumlahan kecepatan relativistik maka: $$ – {u_x} = \frac{{u’_x} + v}{{1 + \frac{{u’_x}v}{{{c^2}}}}} = \frac{{ – 0.80c + {u_x}}}{{1 + \frac{{( – 0,80c){u_x}}}{{{c^2}}}}} = \frac{{ – 0,80{c^2} + {u_x}c}}{{c – 0,80{u_x}}}$$ Atau $$ – {u_x}\left( {c – 0,80{u_x}} \right) = – 0,80{c^2} + {u_x}c\ \ \Rightarrow\ \ 0,80{u_x}^2 = 2{u_x}c – 0,80{c^2}$$  Persamaan terakhir di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel u_x yang dapat ditulis sebagai berikut  $$0,80{u_x}^2 – 2c{u_x} + 0,80{c^2} = 0$$ Atau $${u_x}^2 + 2,5c\ {u_x} + {c^2} = 0$$  Dengan menggunakan rumus ABC, kita dapat menyelesaikan persamaan di atas untuk menentukan u_x, yaitu: $${u_x} = \frac{{2,5c \pm \sqrt {{{\left( { – 2,5c} \right)}^2} – 4\left( 1 \right){c^2}} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{2,5c \pm \sqrt {6,25{c^2} – 4{c^2}} }}{2} = \frac{{2,5c \pm 1,5c}}{2}$$  Dari hasil di atas, diperoleh dua nilai u_x yaitu $${u_x} = \frac{{2,5c + 1,5c}}{2} = \frac{{4c}}{2} = 2c$$  Atau $${u_x} = \frac{{2,5c – 1,5c}}{2} = \frac{c}{2} = 0,5c$$ Karena kecepatan benda tidak mungkin melampaui kecepatan cahaya c maka nilai u_x yang memenuhi adalah u_x = 0,5c.

3. Dua pesawat terbang yang cukup canggih menempuh jalur terbang yang sama berupa sebuah garis lurus. Pesawat pertama memiliki kecepatan 0,8c terhadap Bumi, sedangkan pesawat yang kedua (berada di belakang pesawat pertama) memiliki kecepatan 0,2c terhadap Bumi. Sebuah benda bergerak lurus sejajar dengan kedua pesawat tersebut dengan kecepatan 0,5c terhadap pesawat yang pertama. Jika diukur dari pesawat yang kedua, kecepatan benda tersebut adalah …

Jawaban : 

Situasi soal digambarkan dalam sketsa berikut.

 Kecepatan benda terhadap pesawat I = 0,5c

Misalkan pesawat II adalah kerangka acuan diam, maka:

Kecepatan benda menurut pesawat II ini dinyatakan dengan ux. Kecepatan benda terhadap pesawat I dinyatakan dengan u_x‘ yang sama dengan 0,5c.

Karena kita akan menghitung kecepatan benda menurut pesawat II, berarti kita akan menghitung u_x yang dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan : $${u_x} = \frac{{u’_x + v}}{{1 + \frac{{u’_xv}}{{{c^2}}}}}\ \ \ …..\ \ (1)$$  Nilai u_x‘ telah diketahui. Yang belum diketahui adalah v yaitu kecepatan pesawat I relatif terhadap pesawat II.

Untuk menentukan v ini, kita tinjau gerak kedua pesawat relatif terhadap bumi sebagai berikut.

Ambil bumi sebagai kerangka acuan diam dan pesawat II sebagai kerangka acuan yang bergerak.

Kecepatan pesawat II relatif terhadap bumi adalah v = 0,2c. Sedangkan kecepatan pesawat I relatif terhadap bumi adalah u_x = 0,8c. Kecepatan pesawat I relatif terhadap pesawat II yang akan kita hitung dinyatakan dengan u_x’.  $$u’_x = \frac{{{u_x} – v}}{{1 – \frac{{{u_x}v}}{{{c^2}}}}} = \frac{{0,8c – 0,2c}}{{1 – \frac{{\left( {0,8c} \right)\left( {0,2c} \right)}}{{{c^2}}}}} = \frac{{0,6c}}{{1 – \frac{{0,16{c^2}}}{{{c^2}}}}} = \frac{{0,6c}}{{0,84}} = 0,71c$$  Setelah mengetahui kecepatan pesawat II relatif terhadap pesawat I, sekarang kita gunakan hasil tersebut untuk menghitung u_x dalam persamaan (1), yaitu: $${u_x} = \frac{{u’_x + v}}{{1 + \frac{{u’_xv}}{{{c^2}}}}} = \frac{{0,5c + 0,71c}}{{1 + \frac{{\left( {0,5c} \right)\left( {0,71c} \right)}}{{{c^2}}}}} = \frac{{1,21c}}{{1 + 0,355}} = 0,89c$$  Jadi kecepatan benda tersebut menurut pesawat II adalah 0,89c.

4. Periode suatu pendulum di muka bumi besarnya 3,0 sekon. Jika pendulum tersebut diamati oleh seseorang yang bergerak relatif terhadap bumi dengan kecepatan 0,95c (c = kecepatan cahaya), maka periode pendulum tersebut dalam sekon menjadi …

Jawaban :

Periode di Bumi, T_B = 3,0 sekon.

Jika pendulum diamati oleh orang yang bergerak dengan kecepatan 0,95c relatif terhadap bumi, maka periode tersebut akan mengalami dilatasi waktu (pemuluran waktu) yang dapat dihitung dengan persamaan  $$T = \frac{{{T_o}}}{{\sqrt {1 – \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}$$  Dengan T_o adalah waktu yang diukur oleh pengamat yang diam relatif terhadap peristiwa (yakni bandul yang berayun)

Jadi, $$T = \frac{{3,0}}{{\sqrt {1 – \frac{{{{\left( {0,95c} \right)}^2}}}{{{c^2}}}} }} = \frac{{3,0}}{{\sqrt {1 – 0,9025} }} = \frac{{3,0}}{{\sqrt {0,0975} }} = \frac{{3,0}}{{0,3122}} = 9,6\ {\rm{sekon}}$$

5. Waktu hidup rata-rata sebuah partikel pada keadaan diam di laboratorium adalah 4,0 (mu )s. Berapakah kelajuan partikel relatif terhadap pengamat di Bumi di mana partikel akan menempuh jarak 1.200 m (diukur oleh pengamat di Bumi) sebelum itu meluruh?

Jawaban :

Waktu hidup rata-rata partikel dalam keadaan diam, to = 4,0 (mu )s = 4 x 10^-6 s

Jarak yang akan ditempuh partikel sebelum meluruh (menurut pengamat di Bumi) adalah L_o = 1200 m. Kita akan menghitung kecepatan partikel ini.

Kecepatan partikel tidak lain adalah jarak tempuh dibagi dengan waktu tempuhnya, atau  $v = \frac{L}{t}$ Karena partikel ini bergerak dengan kecepatan yang sangat tinggi maka jarak tempuh partikel akan mengalami pengerutan (kontraksi) yang dinyatakan oleh persamaan : $$L = {L_o}\sqrt {1 – \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} $$  Sehingga $$v = \frac{L}{{{t_o}}} = \frac{{{L_o}\sqrt {1 – \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{{t_o}}} = \frac{{12 \times {{10}^2}\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }}{{4 \times {{10}^{ – 6}}}} = 3 \times {10^8}\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}}$$ Atau $${v^2} = {\left( {3 \times {{10}^8}} \right)^2}\left( {1 – \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \right) = {\left( {3 \times {{10}^8}} \right)^2}\left( {1 – \frac{{{v^2}}}{{{{\left( {3 \times {{10}^8}} \right)}^2}}}} \right) = {\left( {3 \times {{10}^8}} \right)^2} – {v^2}$$ Atau $$2{v^2} = {\left( {3 \times {{10}^8}} \right)^2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ {v^2} = \frac{{{{\left( {3 \times {{10}^8}} \right)}^2}}}{2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ v = \frac{{3 \times {{10}^8}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \times {10^8}\ {\rm{m/s}}$$ Dengan cara lain:

Jarak yang akan ditempuh adalah L_o = 1200 m. Saat bergerak dengan kecepatan tinggi, waktu hidup partikel akan memulur (dilasi) sesuai dengan persamaan :  $$t = \frac{{{t_o}}}{{\sqrt {1 – \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}$$  Dengan demikian, kecepatan partikel adalah $$v = \frac{{{\rm{jarak\ tempuh}}}}{{{\rm{waktu\ tempuh}}}} = \frac{{{L_o}}}{{\frac{{{t_o}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }}}} = \frac{{{L_o}}}{{{t_o}}}\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}}$$  Selanjutnya penyelesaiannya akan sama dengan cara sebelumnya.

6. Pada sebuah dinding tegak terdapat gambar sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 3 m. Seandainya gambar tersebut dilihat oleh orang yang sedang berada di dalam pesawat yang bergerak sejajar dengan dinding dengan kecepatan 0,60c, luas segitiga tersebut adalah …

Jawaban : 

Perhatikan sketsa berikut ini.

Kredit gambar: http://www.clipartbest.com 

Saat pengamat bergerak dengan kecepatan yang sejajar dengan dinding, maka sisi segi tiga yang sejajar dinding akan mengalami kontraksi panjang, yang diberikan oleh : $$L = {L_o}\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} = 3\sqrt {1 – {{\left( {0,60c} \right)}^2}/{c^2}} = 2,4\ {\rm{m}}$$ Dengan demikian, luas segitiga tersebut adalah $$L = \frac{1}{2}at$$ Dengan t adalah tinggi segitiga yang dapat dihitung sebagai berikut (perhatikan gambar): $$t = \sqrt {{3^2} – {{\left( {1,2} \right)}^2}} = \sqrt {9 – 1,44} = 2,75\ {\rm{m}}$$ Dengan demikian luas segi tiga adalah : $$L = \frac{1}{2}\left( {2,4} \right)\left( {2,75} \right) = 3,3\ {{\rm{m}}^2}$$

7. Sebuah elips memiliki setengah sumbu panjang a dan setengah sumbu pendek b, jika diukur dalam keadaan diam. Seseorang pengamat bergerak sepanjang garis lurus yang sejajar bidang elips dan sejajar sumbu panjang dengan kecepatan v. Luas elips itu menurut pengamat yang bergerak adalah …

Jawaban : 

Jika pengamat bergerak sepanjang garis lurus sejajar bidang elips dan sejajar sumbu panjang dengan kecepatan v, maka sumbu panjang elips akan mengalami kontraksi panjang:  $$L = {L_o}\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} = \left( {2a} \right)\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}}\ \ \ ….\ (1)$$ Luas elips dinyatakan dengan persamaan : $${\rm{Luas }} = \pi\ ab$$ Dengan a adalah sumbu panjang elips dan b adalah sumbu pendeknya. Karena sumbu panjang a elips mengalami kontraksi yang panjangnya diberikan oleh persamaan (1), maka luas elips menjadi $${\rm{Luas}} = \pi \frac{{\left( {(2a)\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} } \right)}}{2}b = \pi\ ab{\left( {1 – {v^2}/{c^2}} \right)^{1/2}}$$

8. Sebuah kubus memiliki volume sejati 1000 cm³. Volume kubus tersebut menurut seorang pengamat yang bergerak dengan kecepatan 0,8c relatif terhadap kubus dalam arah sejajar salah satu rusuknya adalah …

 Jawaban : 

Volume sejati kubus adalah 1000 cm³

Saat pengamat bergerak dengan kecepatan 0,8c relatif terhadap kubus dalam arah sejajar sumbu panjang salah satu rusuknya, maka panjang rusuk tersebut akan mengalami kontraksi: $$L = {L_o}\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} $$ Untuk volume kubus sebesar 1000 cm³ maka panjang rusuk-rusuk kubus tersebut adalah 10 cm.

Jadi: $$L = (10)\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} = \left( {10} \right)\sqrt {1 – {{\left( {\frac{{0,8c}}{c}} \right)}^2}} = \left( {10} \right)\left( {0,6} \right) = 6\ {\rm{cm}}$$ Dengan demikian, volume kubus akan menjadi $$V = \left( {10} \right)\left( {10} \right)\left( 6 \right) = 600\ {\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$$

9. Sebuah benda mempunyai massa diam 2 kg. Bila benda bergerak dengan kecepatan 0,6c, maka massanya akan menjadi …

Jawaban :

Massa diam benda, m_o = 2 kg

Karena benda bergerak dengan kecepatan v = 0,6c, maka massa benda akan menjadi $$m = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {1 – {{(0,6c)}^2}/{c^2}} }} = \frac{2}{{0,8}} = 2,5\ {\rm{kg}}$$

10. Jika c adalah kelajuan cahaya di udara, agar massa benda menjadi 125 persennya massa diam, benda harus digerakkan pada kelajuan …

Jawaban :

Agar m = 125%m_o atau 1,25 m_o maka kecepatan benda haruslah : $$m = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 1,25{m_o} = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }}$$ $$\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} = \frac{1}{{1,25}} = 0,8\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 1 – {v^2}/{c^2} = 0,64$$ $${v^2}/{c^2} = 1 – 0,64 = 0,36\ \ \ \Rightarrow \ \ \ v = 0,6c$$

11. Sebuah kubus dengan massa jenis 3200 kg/m³ bergerak dengan kelajuan 0,6c sejajar salah satu rusuknya terhadap pengamat O. Massa jenis kubus itu bila diukur oleh pengamat O adalah … (dalam kg/m³)

Jawaban : 

Massa jenis kubus $\rho$ = 3.200 kg/m³ Massa jenis dinyatakan dengan persamaan : $$\rho = \frac{m}{V}$$ Misalkan massa dan volume kubus dalam keadaan diam masing-masing adalah m_o dan V_o, sehingga massa jenis kubus tersebut dinyatakan dengan persamaan $$\rho = \frac{{{m_o}}}{{{V_o}}} = 3.200\ {\rm{kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$$ Saat kubus bergerak dengan kecepatan yang sangat tinggi yaitu sebesar v = 0,6c sejajar terhadap salah satu rusuknya, maka panjang rusuk tersebut akan mengalami kontraksi yang menyebabkan volume kubus akan berubah. Demikian pula, massa kubus akan berubah. Akibatnya, massa jenis menurut pengamat O akan berubah.

Perubahan massa kubus adalah: $$m = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }} = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 – {{\left( {0,6c} \right)}^2}/{c^2}} }} = \frac{{{m_o}}}{{0,8}} = \frac{5}{4}{m_o}$$ Panjang sisi kubus yang mengalami kontraksi akan menjadi: $$L = {L_o}\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} = {L_o}(0,8) = \frac{8}{{10}}{L_o} = \frac{4}{5}{L_o}$$ Sehingga volume kubus menjadi: $$V = {L_o} \times {L_o} \times L = {L_o}^2\left( {\frac{4}{5}{L_o}} \right) = \frac{4}{5}{L_o}^3$$ Karena L_o³ = V_o, maka $$V = \frac{4}{5}{V_o}$$ Dengan demikian $$\rho = \frac{m}{V} = \frac{{\left( {5/4} \right){m_o}}}{{\left( {4/5} \right){V_o}}} = \frac{{25}}{{16}}\frac{{{m_o}}}{{{V_o}}}$$ Atau $$\rho = \frac{{25}}{{16}}\left( {3200} \right) = 5000\ {\rm{kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$$

12. Daya yang dipancarkan Matahari ke Bumi adalah 1,5 x 10¹⁶ watt. Massa materi yang diproses di Matahari untuk menyinari Bumi dalam satu hari adalah (c = 3 x 10⁸ m/s) …

Jawaban :

Daya yang dipancarkan matahari ke Bumi = 1,5 x 10¹⁶ watt

Karena 1 watt = 1 Joule /sekon maka 1,5 x 10¹⁶ watt = 1,5 x 10¹⁶ Joule/sekon

Ini berarti dalam satu sekon matahari memancarkan energi ke Bumi sebesar 1,5 x 10¹⁶ Joule tiap sekon.

Untuk masa selama 1 jam = 3600 sekon, maka energi yang dipancarkan oleh matahari adalah sebesar (1,5 x 10¹⁶) (3600) = 54 x10¹⁸ Joule.

Energi matahari yang dipancarkan ini berasal dari massa matahari yang dikonversi menjadi energi sesuai dengan persamaan E = mc².

Dengan persamaan energi ini, kita dapat menentukan besar massa yang diperlukan untuk menghasilkan energi sebesar 54 x 10¹⁸ Joule, yaitu: $$E = m{c^2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ m = \frac{E}{{{c^2}}} = \frac{{54 \times {{10}^{18}}}}{{{{\left( {3 \times {{10}^8}} \right)}^2}}} = 600\ kg$$ Perhatikan bahwa massa yang diperoleh di atas adalah massa yang dibutuhkan untuk menghasilkan energi dalam satu jam. Untuk satu hari = 24 jam maka dibutuhkan energi sebesar 600 kg x 24 = 14.400 kg.

13. Suatu partikel bertenaga rehat (diam) E_o sedang bergerak dengan tenaga kinetik EK dan kecepatan v sedemikian rupa hingga v/c = 0,99. EK/E_o untuk partikel adalah …

Jawaban : 

Energi diam partikel : E_o

Kecepatan partikel v adalah sedemikian sehingga v/c = 0,99

Energi kinetik partikel yang bergerak dengan kecepatan relativistik memenuhi persamaan :

EK = E – E_o

Dengan EK adalah energi kinetik, E adalah energi total yang diberikan oleh persamaan $E = m{c^2}$. Karena massa benda yang bergerak relativistik memenuhi persamaan $$m = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }}$$ Maka persamaan energi total E dapat ditulis menjadi  $$E = \left( {\frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }}} \right){c^2} = \frac{{{m_o}{c^2}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }} = \frac{{{E_o}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }}$$ Dengan E_o adalah energi diam benda, yaitu energi benda dalam keadaan diam dan m_o adalah massa diam benda yakni massa benda saat berada dalam keadaan diam.

Dengan menggunakan persamaan-persamaan di atas, maka energi kinetik dapat dituliskan menjadi $$EK = E – {E_o}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ EK = \frac{{{E_o}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }} – {E_o} = {E_o}\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }} – 1} \right)$$ Atau $$\frac{{EK}}{{{E_o}}} = \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }} – 1} \right)$$ Dengan memasukkan nilai v/c = 0,99 pada persamaan di atas, akan diperoleh $$\frac{{EK}}{{{E_o}}} = \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 – {{(0,99)}^2}} }} – 1} \right) = \frac{1}{{0,141}} – 1 = 7,1 – 1 = 6,1$$ Jadi perbandingan energi kinetik benda dengan energi diamnya adalah 6,1.

14. Agar energi kinetik benda bernilai 20% energi diamnya dan c adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa, maka benda harus bergerak dengan kelajuan …

Jawaban :

Agar EK = 20% x E_o atau $EK = \frac{{20}}{{100}}{E_o} = \frac{1}{5}{E_o}$ maka kelajuan benda haruslah sebagai berikut.

EK = E – E_o

Karena EK = (1/5)E_o maka $$\frac{1}{5}{E_o} = E – {E_o}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ E = \frac{6}{5}{E_o}$$ Karena $$E = \frac{{{m_o}{c^2}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }} = \frac{{{E_o}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }}$$
Maka $$\frac{6}{5}{E_o} = \frac{{{E_o}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \sqrt {1 – {v^2}/{c^2}}  = \frac{5}{6}$$  Atau $$1 – \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{25}}{{36}}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{36}}{{36}} – \frac{{25}}{{36}} = \frac{{11}}{{36}}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{v}{c} = \frac{{\sqrt {11} }}{6}$$

Sehingga diperoleh kecepatan benda yang seharusnya untuk soal ini adalah $v = \frac{{c\sqrt {11} }}{6}$.

15. Energi total sebuah partikel dengan massa diam m_o adalah $\sqrt {10} $ kali energi diamnya. Momentumnya adalah …

Jawaban :

Massa diam partikel : m_o

Energi total : $E = \sqrt {10} {E_o}$

Maka momentum partikel tersebut dapat dihitung dengan persamaan hubungan momentum, energi total dan energi diam yang diberikan sebagai berikut: $${E^2} = {E_o}^2 + {p^2}{c^2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ {p^2}{c^2} = {E^2} – {E_o}^2 = {\left( {\sqrt {10} {E_o}} \right)^2} – {E_o}^2 = 9{E_o}^2$$ Dengan menyelesaikan persamaan di atas untuk momentum p diperoleh $${p^2} = \frac{{9{E_o}^2}}{{{c^2}}}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ p = \frac{{3{E_o}}}{c} = \frac{3}{c}{m_o}{c^2}$$ Atau $p = 3{m_o}c$.

16. Sebuah benda dengan massa 4 kg bergerak dengan kecepatan (3/5)c (c kelajuan cahaya) berbentur dengan benda yang serupa tetapi bergerak dengan kelajuan (3/5)c ke arah berlawanan. Bila setelah berbenturan kedua benda kemudian menyatu dan tidak ada energi yang teradiasikan selama proses benturan itu, maka massa benda gabungan setelah benturan adalah …

Jawaban : 

Massa benda 1, m₁ = 4 kg; kecepatannya, v₁ = (3/5)c

Massa benda 2, m₂ = 4 kg; kecepatannya, v₂ = (3/5)c

Kedua benda berbenturan dan menyatu setelah benturan.

Energi diam E_o benda 1 dan 2 sama karena keduanya memiliki massa diam yang sama. $${E_{o1}} = {E_{o2}} = {m_o}{c^2} = 4{c^2}$$ Demikian halnya energi total E benda 1 sama dengan energi total benda 2 karena keduanya juga memiliki kecepatan yang sama.  $${E_1} = {E_2} = \frac{{{m_o}{c^2}}}{{\sqrt {1 – {v^2}/{c^2}} }} = \frac{{4{c^2}}}{{\sqrt {1 – \left[ {{{\left( {3/5} \right)}^2}{c^2}} \right]/{c^2}} }} = 5{c^2}$$  Energi total kedua benda sebelum benturan adalah E_tot = E₁ + E₂ = 5c² + 5c² = 10c².

Energi ini harus sama dengan energi kedua benda yang telah menyatu setelah benturan karena tidak ada energi yang hilang. Jadi, setelah benturan dimana kedua benda menyatu, energinya harus tetap 10c². Dari sini dapat diperoleh bahwa massa gabungan kedua benda setelah benturan adalah 10 kg.