Sebuah bilangan atau angka memiliki balikan atau invers yaitu kebalikan atau invers dari bilangan tersebut. Misalnya angka 10 memiliki kebalikan 1/10. Angka 17 memiliki kebalikan atau inversi 1/17 dan seterusnya. Jika kita memiliki variabel, kita dapat melakukan invers terhadap variabel ini. Misalnya, x dapat diinvers menjadi 1/x.
Sifat dari suatu invers adalah jika invers tersebut dikalikan dengan bilangan/variabel asalnya (yaitu angka atau variabel yang diinvers) maka hasil perkaliannya adalah satu. Atau secara umum, dapat tuliskan sebagai:
$$x \cdot \frac{1}{x} = 1$$
Invers dari suatu angka atau variabel, misalnya variabel x biasa ditulis dalam bentuk: ${x^{ – 1}}$
Invers atau balikan sering juga disebut resiprok.
Lompat baca ke bagian berikut :
Invers Matriks
Seperti halnya bilangan atau variabel yang memiliki invers atau resiprok, matriks juga memiliki invers yang disebut matriks invers. Namun demikian, tidak semua matriks akan memiliki invers matriks. Agar sebuah matriks memiliki invers, maka matriks tersebut harus berupa matriks persegi. Selain itu, sebuah matriks yang memiliki invers harus memiliki determinan yang tidak boleh sama dengan nol.
Jika sebuah matriks memiliki invers, maka matriks tersebut disebut invertibel atau dapat diinversi. Sedangkan jika sebuah matriks tidak dapat diinversi, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
Invers matriks memiliki sifat berikut:
Jika dikalikan dengan matriks asalnya, maka akan diperoleh matriks identitas, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonalnya semuanya bernilai satu sedangkan elemen lainnya bernilai nol.
Misalkan kita memiliki matriks M yang invertibel, maka kita dapat menuliskan sifat di atas sebagai berikut:
$${M^{ – 1}}\, \cdot \,M = I$$
dengan I menyatakan matriks identitas.
Menentukan Invers Matriks
Bagaimana menentukan invers suatu matriks?
Untuk menentukan invers matriks, maka langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut.
- Tentukan kofaktor tiap-tiap elemen matriks
- Tuliskan dalam bentuk matriks tiap-tiap kofaktor elemen yang telah diperoleh di atas. Misalkan matriks tersebut kita nyatakan dengan C.
- Lakukan operasi transpose terhadap matriks C tersebut. Matriks dengan elemen-elemennya berupa kofaktor suatu matriks kemudian ditranspose sering juga disebut matriks adjoin (adj).
- Bagi matriks hasil transpose di atas dengan determinan matriks asalnya.
Berdasarkan langkah-langkah di atas, dapat dituliskan sebuah persamaan yang menyatakan invers suatu matriks, yaitu
$${M^{ – 1}} = \frac{1}{{\det M}}\,\,{C^T}$$
Dengan M-1 menyatakan invers matriks, det M menyatakan determinan matriks yang dicari inversnya, dan CT adalah transpose matriks yang elemen-elemennya adalah kofaktor matriks M.
Mari kita terapkan langkah-langkah di atas untuk menentukan invers dari suatu matriks yang diberikan dalam contoh-contoh berikut.
Contoh-contoh Menentukan Invers Matriks
Sebuah matriks M dinyatakan dengan
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & 0 \\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}$$
Tentukan invers matriks tersebut.
Jawaban:
Pertama mari kita tentukan kofaktor dari tiap-tiap elemen matriks M di atas. Kita sudah mempelajari tentang apa yang dimaksud dengan kofaktor pada tulisan: Determinan Matriks Ordo 3 x 3.
Kita mulai dengan mencari kofaktor tiap-tiap elemen baris pertama, kemudian kofaktor elemen baris kedua, dan seterusnya, sebagai berikut:
Baris pertama:
$$ \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}=6-0=6 \,\,\,\,\, -\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(-4-0) = 4 \,\,\,\,\, \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 6-3 = 3$$
Baris kedua:
$$ -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}=-(0-3)=3 \,\,\,\,\, -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2-(-1) = 3 \,\,\,\,\, -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -(-3-0) = 3$$
Baris ketiga:
$$ \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}=0-(-3)=3 \,\,\,\,\, -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = -(0-2) = 2 \,\,\,\,\, \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = -3-0 = 3$$
Selanjutnya, kita buat matriks C yaitu matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor elemen-elemen matriks M, yaitu
$$ C = \begin{pmatrix} 6 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$
Transpose dari matriks C di atas adalah
$$ {C^T} = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$
Selanjutnya, kita butuh nilai determinan matriks M. Cara menentukan determinan matriks telah kita pelajari sebelumnya.
Dengan menggunakan elemen baris pertama matriks M kita dapat menghitung determinan matriks M sebagai berikut.
$$ det M = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & 0 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}=1(6)+0+(-1)(3)=6-3=3$$
Jadi, determinan matriks M adalah 3.
Dengan demikian, dengan menggunakan rumus untuk menentukan invers matriks kita dapat memperoleh invers matriks M sebagai berikut.
$${M^{ – 1}} = \frac{1}{{\det M}}\,\,{C^T} $$
$$ {M^{-1}} =\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ {{\textstyle{4 \over 3}}} & 1 & {{\textstyle{2 \over 3}}} \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
***
Dengan menggunakan invers matriks, kita juga dapat menyelesaikan persamaan linear secara serentak sebagai alternatif dari metode reduksi baris matriks. Namun demikian, metode invers matriks dalam menyelesaikan persamaan linear secara serentak hanya efektif jika jumlah variabel yang akan dihitung dan jumlah persamaan yang terlibat sebanyak 3 persamaan yang akan memberikan matriks orde 3 x 3.
Contoh berikut menunjukkan bagaimana menyelesaikan persamaan linear secara serentak untuk tiga persamaan dengan tiga variabel dengan menggunakan matriks invers.
Tentukanlah x, y, dan z berdasarkan persamaan-persamaan berikut.
$$x + 2z = 8$$
$$2x – y = – 5$$
$$x + y + z = 4$$
Jawaban:
Persamaan linear tersebut dapat kita tuliskan dalam bentuk perkalian matriks, sebagai berikut.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}$$
Untuk memahami ide penyelesaian soal di atas dengan invers matriks, mari kita analogikan dengan sebuah persamaan biasa yang hanya terdiri atas satu variabel saja.
Misalkan kita akan menyelesaikan persamaan
$$4u = 8$$
untuk menentukan u.
Bagaimana melakukannya?
Anda dengan entengnya dapat menyelesaikannya sebagai berikut:
Pindahkan 4 ke sebelah kanan tanda “sama dengan” dan jadikan sebagai pembagi terhadap angka delapan. Atau u = 8/4 = 2.
Betul! Itulah yang selalu kita lakukan.
Pada prinsipnya, apa yang harus kita lakukan untuk menyelesaikan persamaan seperti ini adalah membuat variabel yang ingin dihitung berdiri sendiri di sebelah kiri tanda “sama dengan”. Dalam contoh kita adalah kita ingin membuat u berdiri sendiri. Dengan kata lain kita ingin menghilangkan angka 4. Angka empat dapat dihilangkan jika kita kalikan dengan kebalikannya atau inversnya yaitu ¼. Sehingga jika ruas kiri kita kalikan dengan invers 4 atau ¼ maka akan kita peroleh variabel u berdiri sendiri sebab 4 x ¼ akan menghasilkan 1 yang tidak perlu ditulis di depan u. Karena ruas sebelah kiri dikalikan dengan ¼ maka ruas sebelah kanan pun harus dikalikan dengan ¼. Jadi, jika kita tuliskan akan diperoleh
$$\left( {\frac{1}{4}} \right)4u = \left( {\frac{1}{4}} \right)8\,\,\, \Rightarrow \,\,\,u = \frac{8}{4} = 2$$
Ide inilah yang kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks kita di atas.
Jadi, kita harus membuat matriks variabel x, y, z pada persamaan matriks di atas menjadi berdiri sendiri di ruas sebelah kiri tanda sama dengan. Untuk itu kita harus mengalikan matriks koefisien-koefisiennya dengan invers dari matriks koefisien-koefisien tersebut.
Oleh karena itu kita harus menentukan invers dari matriks
$$ M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
terlebih dahulu.
Kita ikuti langkah-langkah penentuan invers matriks sebelumnya.
Pertama kita hitung kofaktor tiap-tiap elemen matriks di atas.
Baris pertama:
$$ \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-1-0=-1 \,\,\,\,\, -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-(2-0)=-2 \,\,\,\,\, \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=2-(-1)=3 $$
Baris kedua:
$$ -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-(0-2)=2 \,\,\,\,\, \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1-2 =-1 \,\,\,\,\, -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-(1-0)=-1 $$
Baris ketiga:
$$ \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}=0-(-2)=2 \,\,\,\,\, -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}=-(0-4)=4 \,\,\,\,\, \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=-1-0=-1 $$
Dari hasil di atas, maka dapat dituliskan matriks kofaktor dan transpose matriks kofaktor tersebut, yaitu
$$ \begin{pmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} \underrightarrow{transpose} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$
Selanjutnya, determinan dari matriks koefisien di atas dapat ditentukan dengan menggunakan elemen-elemen baris pertama, yaitu:
$$ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1(-1)+0+2(3)=5 $$
Jadi determinan matriks koefisien adalah 5.
Akhirnya dengan menggunakan persamaan untuk menentukan invers matriks diperoleh
$${M^{ – 1}} = \frac{1}{{\det M}}{C^T}$$
$$ {M^{ – 1}} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -{{\textstyle{1 \over 5}}} & {{\textstyle{2 \over 5}}} & {{\textstyle{2 \over 5}}} \\ -{{\textstyle{2 \over 5}}} & -{{\textstyle{1 \over 5}}} & {{\textstyle{4 \over 5}}} \\ {{\textstyle{3 \over 5}}} & -{{\textstyle{1 \over 5}}} & -{{\textstyle{1 \over 5}}} \end{pmatrix}$$
Sekarang, kita kalikan invers matriks di atas ke persamaan matriks kita. Jika invers matriks ini dikalikan maka ruas kiri persamaan matriks akan menghasilkan matriks identitas yang dikalikan dengan matriks variabel. Hal ini diperlihatkan sebagai berikut.
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\,\,\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -{{\textstyle{1 \over 5}}} & {{\textstyle{2 \over 5}}} & {{\textstyle{2 \over 5}}} \\ -{{\textstyle{2 \over 5}}} & -{{\textstyle{1 \over 5}}} & {{\textstyle{4 \over 5}}} \\ {{\textstyle{3 \over 5}}} & -{{\textstyle{1 \over 5}}} & -{{\textstyle{1 \over 5}}} \end{pmatrix}\,\,\begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}$$
Dengan mengalikan matriks di atas diperoleh:
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -{{\textstyle{8 \over 5}}} + (-{{\textstyle{10 \over 5}}} + {{\textstyle{8 \over 5}}} \\ -{{\textstyle{16 \over 5}}} + {{\textstyle{5 \over 5}}} + {{\textstyle{16 \over 5}}} \\ {{\textstyle{24 \over 5}}} + {{\textstyle{5 \over 5}}} + (-{{\textstyle{4 \over 5}}}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$$
Jadi diperoleh penyelesaian berupa x = -2, y = 1, dan z = 5.
Bagaimana? Mudah bukan?
Anda bisa membandingkan hasil yang diperoleh di atas dengan menggunakan metode reduksi baris.
