Pernahkah Anda berhadapan dengan problem berupa menyelesaikan sekumpulan persamaan linear secara serentak?
Sebagai contoh, Anda diminta untuk menentukan berapa nilai x, y, dan z dari sekumpulan persamaan berikut ini:
$$2x – z = 2$$
$$6x + 5y + 3z = 7$$
$$2x – y = 4$$
Bagaimana Anda menyelesaikannya?
Jika Anda mahir dengan matematika, mungkin Anda akan menyelesaikannya dengan menggunakan metode eliminasi.
Tapi, tahukah Anda bahwa metode paling praktis untuk menyelesaikan persamaan secara serentak seperti ini adalah dengan menggunakan matriks? Apalagi jika jumlah persamaan yang akan dipecahkan cukup banyak, maka menyelesaikan persamaan secara serentak dengan menggunakan matriks merupakan metode yang paling efektif dan efisien.
Kita akan mempelajari metode ini dengan menggunakannya menyelesaikan contoh di atas sambil mengenalkan sejumlah istilah yang penting agar metode yang kita pelajari ini dapat digunakan secara umum.
Lompat baca ke bagian berikut :
Penyelesaian Persamaan Linear Serentak dalam Bentuk Matriks: Metode Reduksi Baris
Kita tuliskan kembali persamaan yang akan kita selesaikan dengan cara menyusunnya dalam bentuk standar yakni disusun agar variabel-variabel yang sama terletak dalam kolom yang sama dan bilangan konstannya diletakkan di sebelah kanan tanda sama dengan, seperti yang kita lakukan berikut ini.
$$2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, – z = 2$$
$$6x + 5y + 3z = 7$$
$$2x – y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4$$
Dari bentuk persamaan di atas, kita akan mengenalkan sejumlah matriks.
Pertama, apa yang disebut matriks koefisien.
Matriks koefisien adalah matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien dari persamaan-persamaan linear kita. Perhatikan agar membedakan koefisien dengan bilangan konstan yang berada di sebelah kanan tanda sama dengan. Jika matriks koefisien ini kita simbol dengan M, maka matriks koefisien dari persamaan di atas adalah sebagai berikut.
$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 6 & 5 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
Matriks yang kedua adalah matriks variabel, yaitu matriks yang elemen-elemennya adalah variabel-variabel persamaan. Matriks variabel ini merupakan matriks 3 x 1 untuk persamaan dengan 3 variabel. Misalkan kita sebut matriks variabel ini dengan r, maka matriks variabel dapat kita tuliskan sebagai.
$$ r = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$
Matriks yang ketiga adalah matriks hasil, yaitu matriks yang elemen-elemennya adalah bilangan konstan yang ada di sebelah kanan tanda sama dengan. Misalkan matriks hasil ini kita nyatakan dengan k, yaitu:
$$ k = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}$$
Matriks yang keempat adalah matriks yang disebut matriks augmented.
Matriks augmented adalah matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien-koefisien variabel persamaan dan bilangan konstan yang berada di sebelah kanan tanda sama dengan. Jika matriks augmented ini kita simbol dengan A, maka matriks augmented dari persamaan-persamaan linear kita di atas adalah :
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 6 & 5 & 3 & 7 \\ 2 & -1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$
Sekarang, untuk menyelesaikan soal ini kita akan menggunakan matriks augmented di atas.
Metode yang akan gunakan di sini disebut dengan metode Reduksi baris.
Pada metode ini, sasaran kita adalah mengupayakan agar koefisien-koefisien matriks di sebelah kiri di bawah elemen baris pertama kolom pertama bernilai nol, di bawah baris kedua kolom kedua bernilai nol, dan seterusnya sehingga elemen-elemen yang bernilai nol membentuk segitiga seperti ditunjukkan dalam gambar berikut.
Untuk mencapai sasaran “menyetigakan elemen-elemen” tersebut kita dibolehkan melakukan operasi berikut terhadap matriks kita:
- Melakukan pertukaran baris
- Mengalikan (atau membagi) sebuah baris dengan angka bukan nol
- Menambahkan (atau mengurangkan) sebuah baris ke baris lainnya
Untuk memperjelas apa yang kita maksudkan di atas, mari kita lakukan operasi reduksi baris pada matriks di atas untuk menyelesaikan soal ini, sebagai berikut.
Perhatikan baris satu dan baris ketiga matriks. Jika kita kurangkan baris ketiga dengan baris pertama (yang saya tulis sebagai: B3 – B1), maka kita bisa melihat elemen matriks baris ketiga kolom pertama akan menjadi nol, sesuai dengan yang diinginkan. Jadi dengan melakukan operasi B3 – B1 matriks A, maka matriks A akan berubah dari
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 6 & 5 & 3 & 7 \\ 2 & -1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$
menjadi
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 6 & 5 & 3 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$
Proses perubahan seperti di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 6 & 5 & 3 & 7 \\ 2 & -1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \underrightarrow{B3-B1} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 6 & 5 & 3 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$
Selanjutnya, jika baris pertama kita kalikan dengan tiga kemudian kita kurangkan ke baris kedua maka matriks A akan berubah menjadi:
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 6 & 5 & 3 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \underrightarrow{B2-3B1} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 6 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$
Selanjutnya, kalikan baris ketiga dengan 5 kemudian jumlahkan baris tersebut dengan baris kedua sehingga matriks A berubah menjadi :
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 6 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \underrightarrow{5B3+B2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 11 & 11 \end{pmatrix}$$
Sekarang baris ketiga kita bagi dengan 11 sehingga diperoleh matriks A
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Nah sekarang karena sasaran kita sudah tercapai, yaitu bentuk nol pada elemen-elemen bawah yang membentuk segitiga, maka kita dapat menyimpulkan hasil yang diperoleh.
Elemen matriks baris ketiga kolom ketiga merupakan koefisien dari z sedangkan elemen baris ketiga kolom keempat merupakan konstanta di sebelah kanan tanda sama dengan. Dengan demikian baris ketiga matriks di atas menunjukkan bahwa 1 x z = 1 atau z = 1.
Selanjutnya, baris kedua kolom kedua dan ketiga masing-masing menyatakan koefisien dari variabel y dan z secara berurutan sedangkan kolom keempat merupakan bilangan konstan yaitu angka di sebelah kanan tanda sama dengan. Berarti baris ketiga matriks hasil di atas menunjukkan bahwa
$$5y + 6z = 1$$
Karena kita sudah ketahui z = 1, maka dengan menyubstitusikan nilai z = 1 ke dalam persamaan di atas kita dapat memperoleh y = -1.
Selanjutnya, baris pertama menyatakan bahwa:
$$2x – z = 2$$
Karena z = 1, maka dari persamaan di atas dapat diperoleh
$$2x – z = 2\,\, \Rightarrow \,\,2x = 2 + z = 2 + 1 = 3\,\,\, \Rightarrow \,\,\,x = \frac{3}{2}$$
Jadi, kita peroleh x = 3/2, y = -1 dan z = 1. Tidak percaya? Anda boleh mencoba membuktikannya dengan menggunakan metode eliminasi.
Nah, setelah Anda mengikuti pembahasan di atas, apakah Anda sepakat bahwa menyelesaikan persamaan linear serentak dalam bentuk matriks merupakan cara yang lebih mudah dan efisien?
Sebagai contoh lain, mari kita berlatih dengan mengerjakan soal pada bagian contoh soal berikut.
Contoh soal metode Reduksi Baris Matriks
Tuliskan matriks augmented dan lakukan reduksi baris pada perangkat persamaan-persamaan berikut:
$$x – y + 4z = 5$$
$$2x – 3y + 8z = 4$$
$$x – 2y + 4z = 9$$
Jawaban:
Dengan mudah kita dapat menuliskan matriks augmented persamaan-persamaan di atas sebagai berikut.
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 5 \\ 2 & -3 & 8 & 4 \\ 1 & -2 & 4 & 9 \end{pmatrix}$$
Selanjutnya mari kita lakukan reduksi baris terhadap matriks augmented di atas.
Kalikan baris pertama dengan dua dan kurangkan ke baris kedua sehingga matriks A berubah menjadi
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 5 \\ 2 & -3 & 8 & 4 \\ 1 & -2 & 4 & 9 \end{pmatrix} \underrightarrow{B2-2B1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 5 \\ 0 & -1 & 0 & -6 \\ 1 & -2 & 4 & 9 \end{pmatrix}$$
Selanjutnya, kurangkan baris 3 dengan baris 1 sehingga matriks A menjadi:
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 5 \\ 0 & -1 & 0 & -6 \\ 1 & -2 & 4 & 9 \end{pmatrix} \underrightarrow{B3-B1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 5 \\ 0 & -1 & 0 & -6 \\ 0 & -1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$
Selanjutnya, baris 3 kita kurangkan dengan baris 2 sehingga matriks A menjadi:
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 5 \\ 0 & -1 & 0 & -6 \\ 0 & -1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \underrightarrow{B3-B2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 5 \\ 0 & -1 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}$$
Perhatikan bentuk matriks terakhir kita.
Sasaran telah tercapai yaitu elemen-elemen yang bernilai nol membentuk segitiga di bagian kiri bawah. Sayangnya, ada masalah pada hasil ini, yaitu:
Baris ketiga menyatakan bahwa
$$0 \cdot z = 20\,\,\, \Rightarrow \,\,\,0 = 20$$
Tentu saja pernyataan ini salah! karena nol tidak sama dengan 20!!!
Jika Anda menyelesaikan soal fisika dan menyelesaikannya dengan metode reduksi lalu bertemu dengan kondisi seperti di atas, maka Anda harus mengecek persamaan-persamaan yang telah Anda tuliskan. Kemungkinan besar Anda telah melakukan kesalahan.
Pada kondisi seperti di atas, persamaan-persamaan disebut tidak konsisten! Akibatnya tidak dapat diselesaikan.
Rank Matriks
Rank dari sebuah matriks menyatakan jumlah baris matriks yang elemen-elemennya tidak bernilai nol semua saat matriks tersebut direduksi baris.
Sebagai contoh pada matriks augmented yang telah direduksi baris di atas, yaitu matriks berikut:
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 5 \\ 0 & -1 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}$$
Pada ketiga baris matriks tersebut tidak ada baris yang semua elemennya bernilai nol. Oleh karena itu rank matriks ini adalah 3.
Namun demikian, jika kita hanya memperhatikan matriks koefisien hasil reduksi barisnya, yakni matriks yang elemen-elemennya merupakan tiga kolom pertama matriks augmented hasil reduksi baris, yaitu untuk matriks di atas (misalkan matriks koefisiennya kita nyatakan dengan M) :
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Tampak ada dua baris yang elemen-elemen barisnya tidak semuanya bernilai nol, yaitu baris pertama dengan elemen-elemen 1, -1, dan 4 serta baris kedua dengan elemen-elemen: 0, -1, dan 0. Sedangkan baris ketiga semua elemennya bernilai nol. Dengan demikian, rank matriks tersebut adalah 2 (yang berarti ada dua baris yang elemen-elemennya tidak semuanya bernilai nol).
Jika sebuah matriks hasil reduksi baris memiliki rank matriks M (yaitu matriks koefisien) lebih kecil dari rank matriks A, maka persamaan tersebut pasti tidak konsisten. Anda tidak perlu buang-buang waktu untuk mencari penyelesaiannya!
Secara umum, jika kita memiliki m persamaan dengan n variabel yang tidak diketahui dalam persamaan tersebut, maka pada matriks M yang kita miliki akan terdiri atas m baris (bersesuaian dengan jumlah persamaan) dan n kolom (bersesuaian dengan jumlah variabel yang tidak diketahui) dan untuk matriks augmented A-nya, kita akan memiliki satu tambahan kolom lagi yaitu kolom untuk nilai konstan yang berada di sebelah kanan tanda sama dengan. Pada persamaan-persamaan tersebut akan terdapat beberapa kemungkinan kasus:
- Jika rank M < rank A, maka persamaan tidak konsisten dan tidak akan ada penyelesaian seperti contoh yang telah kita kerjakan. Ingat, rank baru dapat diketahui setelah matriks direduksi baris. Jadi matriks M dan matriks A dalam pernyataan ini adalah matriks yang telah direduksi baris.
- Jika rank M = rank A = n (yaitu jumlah variabel yang tidak diketahui), maka akan ada satu penyelesaian.
- Jika rank M = rank A = R < n, maka ada R variabel yang tidak diketahui yang dapat diperoleh dalam bentuk n – R variabel yang tersisa lainnya.
Pernyataan bagian c ini mungkin kurang jelas.
Oleh karena itu, untuk memperjelas apa yang dimaksudmari kita perhatikan contoh berikut.
Misalkan terdapat empat persamaan dengan tiga variabel yang tidak diketahui beserta matriks augmentednya yang telah direduksi baris sebagai berikut.
$$x + y – z = 7$$
$$2x – y – 5z = 2$$
$$ – 5x + 4y + 14z = 1$$
$$3x – y – 7z = 5$$
Matriks augmentednya yang telah direduksi baris adalah
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Dari hasil reduksi baris matriks di atas, baris pertama menyatakan bahwa:
$$x – 2z = 3\,\,\, \Rightarrow \,\,x = 3 + 2z$$
Dan baris kedua menyatakan:
$$y + z = 4\,\, \Rightarrow \,\,y = 4 – z$$
Perhatikan dari contoh ini, bahwa kita dapat memperoleh informasi berikut:
Jumlah persamaan (m) = 4, sedangkan jumlah variabel yang tidak diketahui (n) = 3.
Perhatikan pula bahwa rank matriks M sama dengan rank matriks A yaitu 2 (ada dua baris pada matriks yang telah direduksi baris di atas yang elemen-elemennya tidak semuanya bernilai nol).
Karena rank matriks M = rank matriks A = 2, dan 2 ini lebih kecil dari n sehingga sesuai dengan pernyataan poin c di atas (R < n), maka berdasarkan poin c tersebut akan ada 2 (R) variabel yang tidak diketahui. Kedua variabel ini tidak lain adalah variabel x dan variabel y. Selanjutnya, menurut poin c, kedua variabel yang tidak diketahui ini dapat dinyatakan dalam 1 variabel yang tersisa yaitu z (angka 1 berasal dari n – R atau 3 – 2 = 1). Hal ini ditunjukkan dalam contoh di atas di mana x dan y dinyatakan dalam variabel z, seperti yang dinyatakan dalam persamaan $x = 3 + 2z$ dan $y = 4 – z$.
Mari kita selesaian satu contoh lagi.
Tentukanlah rank matriks berikut
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 10 & 7 \\ 4 & 2 & 14 & 10 \\ 2 & 0 & 6 & 4 \end{pmatrix}$$
Jawab:
Lakukan reduksi baris pada matriks di atas dengan operasi berikut:
Baris pertama dikalikan dengan 3 kemudian dikurangkan ke baris 2 atau dinyatakan dengan B2 – 3B1
Baris pertama dikalikan dengan 4 kemudian dikurangkan ke baris 3 atau B3 – 4B1
Baris pertama dikalikan dengan 2 kemudian dikurangkan ke baris 4 atau B4 – 2B1
Baris ketiga dan keempat masing-masing dikurangi dengan baris kedua atau B3 – B2 dan B4 – B2.
Proses di atas diperlihatkan sebagai berikut.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 10 & 7 \\ 4 & 2 & 14 & 10 \\ 2 & 0 & 6 & 4 \end{pmatrix} \underrightarrow{B2 – 3B1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & -2 & -2 & -1 \\ 4 & 2 & 14 & 10 \\ 2 & 0 & 6 & 4 \end{pmatrix} \underrightarrow{B3 – 4B1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \\ 2 & 0 & 6 & 4 \end{pmatrix}$$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \\ 2 & 0 & 6 & 4 \end{pmatrix} \underrightarrow{B4 – 2B1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \end{pmatrix} \underrightarrow{\frac{B3 – B2}{B4-B2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
Berdasarkan matriks terakhir di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa rank matriks yang diberikan adalah 2.
Jika kita hanya mengambil matriks M yaitu:
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Tampak bahwa matriks M di atas juga memiliki rank 2.
