Hukum Kepler

Hukum Kepler merupakan hukum yang diturunkan (dirumuskan) oleh seorang astronom Jerman bernama Johannes Kepler. Perumusan hukum Kepler didasarkan pada data-data astronomi yang dikumpulkan oleh Tycho Brahe (1546 – 1601). Oleh karena itu, hukum Kepler ini berkaitan dengan gerak benda-benda astronomis yang dapat diamati pada masa itu berupa planet-planet dan bintang-bintang.

Sesungguhnya, sejak dahulu kala, selama ribuan tahun yang lampau, orang-orang sudah mengamati gerak bintang-bintang, planet-planet, dan benda-benda langit lainnya. Dari hasil pengamatan ini ilmuwan pada masa itu menganggap bumi ini sebagai pusat dari jagad raya.

Bahwa bumi sebagai pusat jagad raya dikenal sebagai teori geosentris. Teori ini dikemukakan dan dikembangkan oleh astronom Yunani bernama Claudius Ptolemy. Pandangan Ptolemy ini diterima selama 1400 tahun lamanya. Hingga akhirnya pada tahun 1543 seorang astronom Polandia bernama Nicolaus Copernicus (1473 – 1543) mulai membantah pandangan geosentris ini. Menurut Copernicus, bumi dan planet-planet lainnya sebenarnya berputar mengelilingi matahari. Bukan sebaliknya bahwa matahari yang mengelilingi bumi. Pandangan bahwa bumi berputar mengelilingi matahari ini disebut sebagai pandangan heliosentris.

Selanjutnya, seorang astronom Denmark bernama Tycho Brahe yang hidup pada kurun tahun 1546 – 1601 tertarik untuk menentukan bagaimana benda-benda langit tersusun. Brahe juga penasaran ingin menentukan posisi planet-planet dan bintang-bintang. Untuk keinginannya itu, Tycho Brahe mulai melakukan pengamatan langit.

Sangat menakjubkan, hasil pengamatan yang dilakukan terhadap sejumlah planet dan 777 buah bintang yang tampak dengan mata telanjang dilakukannya hanya dengan menggunakan sebuah sekstan besar dan sebuah kompas!

Johanes Kepler yang hukumnya akan kita bahas dalam tulisan ini merupakan asisten Tycho Brahe selama beberapa waktu menjelang kematian Brahe. Oleh karena itu tidak mengherankan jika Kepler kemudian mendapatkan data-data astronomis yang telah dicatat dan dikumpulkan oleh Brahe sejak awal.

Kepler membutuhkan waktu kurang lebih 16 tahun untuk kemudian dapat merumuskan, berdasarkan data-data tersebut, sebuah model matematis yang menggambarkan gerak dari planet-planet. Rumusan inilah yang kemudian kita kenal sebagai hukum Kepler.

Kesulitan Kepler merumuskan hukum-hukumnya dari pengamatan data-data Brahe, disebabkan oleh karena data-data Brahe tentang gerak planet tersebut diamati dari bumi yang bergerak.

Namun, setelah melakukan sejumlah perhitungan, Kepler akhirnya menemukan bahwa data-data Brahe tentang revolusi planet Mars terhadap matahari berhasil mengantarkannya pada sebuah model matematis yang sesuai yang kelak menjadi hukum Kepler.

Analisis lengkap Johanes Kepler tentang gerak planet kemudian dirangkum dalam tiga pernyataan yang dikenal sebagai hukum Kepler yang akan akan kita bahas lebih lanjut.

Bunyi Hukum Kepler

Bagaimana bunyi hukum Kepler itu?

Hukum Kepler dirangkum dalam tiga pernyataan sebagai berikut.

1. Semua planet bergerak dalam lintasan orbit yang berbentuk elips di mana matahari adalah salah satu titik pusat elips tersebut.

2. Vektor jari-jari yang digambarkan dari matahari ke sebuah planet akan menyapu luas area yang sama untuk selang waktu yang sama.

3. Kuadrat periode orbit sebuah planet sebanding dengan pangkat tiga sumbu semimayor orbit elipsnya.

Itulah tiga pernyataan yang dikenal sebagai hukum Kepler.

Selanjutnya, mari kita telaah satu demi satu hukum-hukum Kepler di atas dan membuktikan pernyataan 2 dan 3 hukum Kepler tersebut.

Hukum I Kepler

Hukum I Kepler dinyatakan dalam pernyataan 1 di atas.

Semua planet bergerak dalam lintasan orbit yang berbentuk elips di mana matahari adalah salah satu titik pusat elips tersebut.

Sebuah bentuk elips ditunjukkan dalam gambar berikut.

Secara matematis, sebuah elips dibuat dengan menentukan dua buah titik F₁ dan F₂ yang disebut sebagai fokus elips, kemudian menggambarkan sebuah kurva yang melalui titik-titik yang jumlah jarak titik-titik tersebut ke fokus 1 (r₁) dengan jarak titik-titik itu ke fokus 2 (r₂) harus selalu sama (tidak berubah). Jadi kurva yang membentuk elips itu harus memenuhi r₁ + r₂ = sebuah bilangan konstan.

Jarak terpanjang antara dua titik yang melalui pusat elips disebut dengan sumbu mayor.

Dari gambar di atas jarak terpanjang tersebut adalah yang melalui titik fokus F₁ dan F₂. Garis ini merupakan sumbu mayor. Sesuai dengan gambar di atas, maka panjang sumbu mayor elips di atas adalah 2a. Setengah panjang sumbu mayor ini disebut sumbu semimayor. Dari gambar di atas panjang sumbu semimayor adalah a.

Sebaliknya, untuk jarak terpendek antara dua titik pada elips yang melalui pusat elips disebut sumbu minor. Dari gambar di atas, panjang sumbu minor elips adalah 2b. Setengah dari panjang sumbu minor disebut sumbu semiminor. Berarti pada gambar di atas sumbu semiminor ini panjangnya adalah b.

Kedua titik fokus elips F₁ dan F₂ terletak sejauh c dari pusat elips (perhatikan gambar di atas) di mana nilai c ini harus memenuhi persamaan :

a² = b² + c²

Nah, sesuai dengan hukum Kepler I, orbit planet berbentuk elips dengan matahari terletak pada salah satu titik fokus elips tersebut.

Pada sebuah elips terdapat apa yang disebut eksentrisitas yang diberi simbol e.

Eksentrisitas didefinisikan sebagai perbandingan antara jarak titik fokus ke pusat (c) dengan  panjang sumbu semimayor (a), atau $$e = \frac{c}{a}$$

Eksentrisitas elips menunjukkan bentuk umum elips tersebut. Apakah lonjong ke arah sumbu y atau lonjong ke arah sumbu x. Atau bahkan tidak memiliki bentuk lonjong sama sekali. Jika elips tidak berbentuk lonjong, berarti nilai e-nya sama dengan nol. Itu berarti elips tersebut adalah sebuah lingkaran. Jadi lingkaran sebetulnya merupakan bentuk khusus dari elips yaitu elips dengan nilai e = 0.

Pada planet-planet dalam sistem tata surya kita, eksentrisitas orbit bentuk elips planet-planet tersebut bervariasi untuk tiap-tiap planet. Untuk bumi, nilai eksentrisitasnya sebesar 0,017. Nilai ini cukup kecil. Ini menunjukkan orbit bumi mendekati bentuk lingkaran (nilai eksentrisitas menuju nol). Di sisi lain, planet dengan nilai eksentrisitas terbesar adalah planet Merkurius yaitu sebesar 0,21. Orbit Merkurius ditunjukkan dalam gambar berikut.

Dari gambar di atas, tampak bahwa meskipun nilai eksentrisitas Merkuri cukup besar, kita masih sulit membedakan orbit elips ini dengan bentuk lingkaran.

Karena bentuk elips dari orbit planet-planet ini, maka kita mengenal istilah perihelion dan aphelion dalam astronomi. Perihelion adala jarak terdekat planet ke matahari sedangkan aphelion adalah jarak terjauh planet dari matahari.

Sebenarnya, hukum I Kepler ini adalah akibat langsung dari gaya gravitasi yang bersifat inversi jarak kuadrat (1/r²).

Hukum II Kepler

Hukum II Kepler dinyatakan dalam pernyataan ke dua di atas.

Vektor jari-jari yang digambarkan dari matahari ke sebuah planet akan menyapu luas area yang sama untuk selang waktu yang sama.

Hukum II ini merupakan konsekuensi dari kekekalan momentum sudut. Mari kita lihat.

Misalkan sebuah planet bermassa M_P bergerak mengelilingi matahari dengan orbit berbentuk elips, seperti ditunjukkan dalam gambar berikut.

Agar planet mengelilingi matahari, maka tentu harus ada gaya gravitasi yang bekerja antara keduanya (matahari dan planet). Gaya gravitasi ini merupakan sebuah gaya sentral. Garis kerja gaya gravitasi ini selalu berada sepanjang vektor jari-jari yang mengarah ke matahari.

Torsi gaya yang bekerja pada planet tersebut akibat gaya gravitasi ini jelas bernilai nol karena arah gaya gravitasi sejajar dengan jarak r.

Ingat bahwa torsi total oleh gaya luar pada sebuah sistem sama dengan laju perubahan momentum sudut sistem tersebut, atau

$$\sum {\bf{\tau }} = \frac{{d{\bf{L}}}}{{dt}}\ \ …\ \ (1)$$

Nah, karena torsi gaya luar pada planet sama dengan nol, maka berdasarkan persamaan di atas, perubahan momentum planet adalah nol. Dengan kata lain tidak terjadi perubahan momentum planet. Itu berarti momentum planet selalu tetap atau konstan sejak awal.

Karena momentum sudut L diberikan oleh persamaan ${\bf{L}} = {\bf{r}} \times {\bf{p}}$ dan p adalah momentum linear yang diberikan oleh persamaan p = m v, maka

$${\bf{L}} = {\bf{r}} \times {\bf{p}} = {\bf{r}} \times {M_p}{\bf{v}} = {M_p}{\bf{r}} \times {\bf{v}}$$

Persamaan di atas tentu harus bernilai konstan, atau kita tulis

$${\bf{L}} = {M_p}{\bf{r}} \times {\bf{v}} = {\rm{konstan}}\ \ …\ \ (2)$$

Sekarang kita perhatikan gambar berikut.

Misalkan planet telah bergerak selama $\Delta t$. Berarti telah terjadi perpindahan sejauh dr. Karena perpindahan dr sama dengan kecepatan planet dikalikan dengan selang waktu $\Delta t$, maka dapat ditulis

$$d{\bf{r}} = {\bf{v}} \times \Delta t$$

Perhatikan gambar di atas. Luas yang disapu oleh planet saat bergerak selama $\Delta t$ adalah bagian yang diberi arsir. Luas ini, yang dinyatakan dengan dA, sama dengan:

$$d{\bf{A}} = \frac{1}{2}\left( {{\bf{r}} \times d{\bf{r}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {{\bf{r}} \times {\bf{v}}\ \Delta t} \right)\ \ …\ \ (3)$$

Sekarang kita gunakan hasil pada persamaan (2) ke dalam persamaan (3) di atas.

Terlebih dahulu kita tuliskan persamaan (2) menjadi:

$${\bf{L}} = {M_p}{\bf{r}} \times {\bf{v}}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ {\bf{r}} \times {\bf{v}} = \frac{{\bf{L}}}{{{M_p}}}$$

Masukkan hasil di atas ke dalam persamaan (3) maka kita akan peroleh

$$d{\bf{A}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\bf{L}}}{{{M_p}}}} \right)\ \Delta t = \frac{{\bf{L}}}{{2{M_p}}}\Delta t\ \  \Rightarrow \ \ \ \frac{{dA}}{{dt}} = \frac{L}{{2{M_p}}}$$

L dan M_p pada persamaan di atas keduanya konstan sehingga ruas kanan persamaan tersebut tentu saja adalah bilangan konstan. dA/dt tidak lain merupakan besar luas yang disapu dalam selang waktu dt. Karena dA/dt ini berasal dari (kita turunkan dari)  vektor radius yang bergerak dalam selang waktu dt, maka hasil di atas menunjukkan bahwa vektor radius dari matahari ke planet akan menyapu luas yang sama untuk selang waktu yang sama. Ini adalah pernyataan hukum II Kepler.

Hasil yang membuktikan pernyataan hukum II Kepler ini merupakan akibat dari gaya gravitasi yang merupakan gaya sentral. Pada gaya sentral, momentum sudut akan bersifat konstan. Oleh karena itu, hukum II Kepler ini berlaku untuk situasi apa pun yang melibatkan gaya sentral, tanpa peduli apakah gaya sentral tersebut bersifat kuadrat terbalik atau tidak.

Hukum III Kepler

Bagaimana dengan hukum III Kepler?

Hukum III Kepler mengatakan bahwa :

Kuadrat periode orbit sebuah planet sebanding dengan pangkat tiga sumbu semimayor orbit elipsnya.

Hukum III Kepler ini dapat diprediksi dari hukum kuadrat terbalik untuk orbit berbentuk melingkar.

Misalkan sebuah planet bermassa M_p yang diasumsikan bergerak mengelilingi matahari dengan lintasan orbit berupa lingkaran seperti gambar berikut.

Pada situasi seperti dalam gambar di atas, terdapat gaya gravitasi antara planet dan matahari. Gaya gravitasi ini berperan sebagai gaya sentripetal yang menghasilkan percepatan sentripetal. Karena sistem ini kita asumsikan berupa lingkaran, maka kita gunakan hukum kedua Newton untuk gerak melingkar.

$$\sum {{F_{sp}} = m\frac{{{v^2}}}{R}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,G\frac{{{M_M}{M_p}}}{{{R^2}}} = {M_p}\frac{{{v^2}}}{R}$$

Dari persamaan di atas kita peroleh

$$G\frac{{{M_M}}}{{{R^2}}} = \frac{{{v^2}}}{R}\ \ …\ \ (1)$$

Karena orbit berbentuk lingkaran, maka kecepatan orbit planet v memenuhi keliling lingkaran dibagi periode orbit T atau

$$v = \frac{{2\pi R}}{T}$$

Jika kita masukkan persamaan v di atas ke dalam persamaan (1) maka diperoleh

$$G\frac{{{M_M}}}{{{R^2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{{2\pi R}}{T}} \right)}^2}}}{R}\ = \frac{{4{\pi ^2}R}}{{{T^2}}}$$

Atau dengan menuliskannya untuk T², maka

$${T^2} = \left( {\frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_M}}}} \right){R^3}\ \ …\ \ (2)$$

Karena kuantitas dalam kurung pada persamaan di atas semuanya bernilai konstan, maka kita dapat menuliskannya dengan sebuah simbol, misalkan k, sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi

$${T^2} = k{R^3}\ \ …\ \ (3)$$

Dengan nilai k adalah

$$k = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_M}}} = 2,97 \times {10^{ – 19}}\ \ {{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\ \ …\ \ (3a)$$

Meskipun hasil di atas kita peroleh dengan menganggap planet bergerak dengan orbit berupa lingkaran, tetapi hasil tersebut juga tetap berlaku bendar untuk orbit berupa elips dengan jari-jari r pada persamaan di atas kita gantikan dengan sumbu semimayor a.

Dengan demikian, persamaan (3) dapat kita tuliskan untuk orbit berupa elips menjadi

$${T^2} = k{a^3}\ \ …\ \ (4)$$

Persamaan (4) di atas tidak lain merupakan bentuk matematis dari hukum III Kepler.

Perhatikan pula bahwa nilai konstanta k pada persamaan di atas tidak bergantung pada massa planet. Dengan demikian, hasil tersebut berlaku untuk semua planet-planet.

Meskipun persamaan (4) di atas kita turunkan dengan meninjau gerak planet mengelilingi matahari, tetapi persamaan yang diperoleh juga dapat digunakan untuk sistem lain yang mengorbit sebuah pusat orbit. Misalnya sistem bumi-bulan di mana bulan mengorbit bumi. Pada sistem bumi-bulan ini, tentu saja nilai konstanta k harus diubah dengan menggantikan massa matahari M_M yang digunakan pada persamaan di atas menjadi M_B yaitu massa bumi, massa yang diorbiti oleh bulan.

Nah, demikianlah pembahasan kita tentang ketiga hukum Kepler di atas. Hukum ini kita sudah tahu berlaku pada benda-benda langit (astronomi).

Sebagai penutup, mari kita menyelesaikan dua soal yang berkaitan dengan pemanfaatan hukum Kepler ini.

Contoh soal tentang Hukum Kepler

Contoh Soal 1

Komet baru bernama Alex-Casey memiliki orbit dengan periode sebesar 127,4 tahun. Jika jarak terdekat Alex-Casey ke matahari adalah 0,1 AU (AU = astronomical unit [satuan astronomi]. 1 AU = 1,5 x 10¹¹ meter) berapakah jarak terjauh komet ini dari matahari?

Penyelesaian :

Periode komet adalah 127,4 tahun = 4,02 x 10⁹ sekon

Dari hukum III Kepler yang dinyatakan dalam persamaan (4) di atas, kita dapat menentukan sumbu semimayor orbit komet ini.

$${T^2} = k{a^3}$$

Dengan nilai k sesuai dengan persamaan (3a) adalah 2,97 x 10^-19 s²/m³.

Dengan memasukkan nilai T yang diberikan yaitu T = 4,02 x 10⁹ sekon, maka diperoleh

$${T^2} = k{a^3}\,\, \Rightarrow \,\,{a^3} = \frac{{{T^2}}}{k} = \frac{{{{\left( {4,02 \times {{10}^9}} \right)}^2}}}{{2,97 \times {{10}^{ – 19}}}} = 5,44 \times {10^{37}}$$

Atau

$$a = \sqrt[3]{{5,44 \times {{10}^{37}}}} = 3,79 \times {10^{12}}\ \ {\rm{m}} = 25,3\,\,{\rm{AU}}$$

Sekarang perhatikan gambar elips berikut untuk dapat menghubungkan nilai sumbu semimayor a, jarak terdekat (dalam gambar dinyatakan dengan j_d), dan jarak terjauh (dalam gambar dinyatakan dengan j_j).

Tampak bahwa jarak terjauh j_j dapat dinyatakan dengan

$${j_j} = 2a – {j_d} = 2\left( {25,3} \right) – 0,1 = 50,5\ \ {\rm{AU}}$$

Jadi jarak terjauh komet Alex-Casey adalah 50,5 AU.

Contoh soal 2

Misalkan kita sedang mengamati stasiun ruang angkasa internasional (Internasional Space Station, ISS) milik NASA.

ISS mengorbit bumi dengan orbit berbentuk mendekati lingkaran pada ketinggian 385 km di atas permukaan bumi. Berapa lama kita dapat melihat kembali ISS setelah menghilang dari penglihatan kita saat ini?

Penyelesaian:

Untuk dapat melihat kembali ISS setelah menghilang dari pandangan sekarang adalah saat ISS tiba kembali di tempat yang sama saat ini. Itu berarti satu periode gerak. Dengan demikian, untuk menentukan berapa lama untuk dapat melihatnya kembali, maka kita harus menghitung periode gerak ISS.

Kita ketahui jari-jari orbit ISS yaitu jari-jari bumi ditambah dengan ketinggian orbit ISS. Dengan demikian, soal ini dapat kita selelsaikan dengan menggunakan hukum III Kepler yang dituliskan dalam bentuk matematis pada persamaan (4).

Sistem kita adalah ISS mengorbit bumi.

Berarti konstan k pada persamaan (4) yang dinyatakan oleh

$$k = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_M}}}$$

harus kita sesuaikan.

Penyesuaiannya adalah dengan menggantikan M_M dengan M_B yaitu massa bumi. Dengan demikian,

$$k = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_B}}} = \frac{{4{{\left( {3,14} \right)}^2}}}{{\left( {6,67 \times {{10}^{ – 11}}} \right)\left( {5,98 \times {{10}^{24}}} \right)}} = 9,89 \times {10^{ – 14}}\ \ {{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$$

Selanjutnya, sesuai dengan hukum III Kepler, maka

$${T^2} = k{a^3}$$

Dengan a tidak lain adalah jari-jari orbit ISS, yaitu sama dengan jari-jari bumi ditambah dengan ketinggiah ISS dari permukaan bumi atau

$${r_B} + h = 6\,375 + 385 = 6\,760\,\,{\rm{km = }}6,76 \times {10^6}\,{\rm{m}}$$

Dengan demikian

$${T^2} = \left( {9,89 \times {{10}^{ – 14}}} \right){\left( {6,76 \times {{10}^6}} \right)^3} = 3055,177 \times {10^4}$$

Atau

$$T = \sqrt {3055,177 \times {{10}^4}} = 55,27 \times {10^2} = 5527\ \ {\rm{sekon}}$$

Jadi waktu berikutnya untuk dapat terlihat dari posisi yang sama adalah setelah 5527 sekon atau 5527/60 menit = 92,1 menit.

Jika kita membuka wikipedia tentang ISS ini, kita peroleh informasi bahwa periode ISS mengorbit bumi kurang lebih sebesar 93 menit. Atau jika kita melakukan googling untuk frase “NASA ISS period” kita akan peroleh informasi “orbital period” sebesar 92,68 menit mendekati nilai perhitungan kita di atas yang menggunakan hukum III Kepler.

Bagaimana? Menarik bukan?