Hukum Bernoulli, Penurunan Persamaan dan Penerapannya

Hukum Bernoulli dan penerapannya merupakan salah satu konsep dalam fisika yang kita temui ketika kita membahas tentang fluida atau zat cair yang bergerak (mengalir). Hukum ini disebut juga persamaan Bernoulli karena pertama kali dikemukakan oleh Daniel Bernoulli saat ia mempelajari tentang aliran fluida pada tahun 1700-an.

Hukum Bernoulli menjelaskan tentang hubungan antara tekanan, ketinggian (elevasi), dan kelajuan sebuah fluida tidak kental yang mengalir dalam aliran yang tenang (tidak turbulen).

Sebelum kita menerapkan hukum Bernoulli ini dalam menyelesaikan soal-soal, mari kita lihat dan pahami terlebih dahulu bentuk persamaannya. Untuk itu kita perhatikan gambar berikut ini.

Sebuah pipa mengalirkan zat cair atau fluida dengan aliran yang tenang. Dalam rentang waktu $\Delta t$, bayangkan terdapat zat cair dengan volume $\Delta V$. Zat cair dengan volume ini ditandai dengan warna ungu pada gambar. Zat cair ini masuk ke dalam pipa pada ujung sebelah kiri (bagian input). Pada saat yang bersamaan zat cair dengan volume yang sama (yang diberi warna hijau pada gambar) keluar pada ujung pipa sebelah kanan.

Secara logika, tentu saja volume air yang keluar ini pasti sama dengan volume air yang masuk karena zat cair kita bersifat tidak dapat dimampatkan (inkompresibel). Anggaplah kerapatan (massa jenis) zat cair kita adalah $\rho $.

Misalkan y₁, v₁, dan p₁ secara berturut-turut menyatakan besarnya ketinggian, kelajuan, dan tekanan zat cair yang masuk pada ujung pipa sebelah kiri dan y₂, v₂, dan p₂ adalah ketinggian, kelajuan, dan tekanan zat cair yang keluar di ujung pipa sebelah kanan.

Dengan menerapkan hukum kekekalan energi maka kita dapat memperoleh persamaan hukum Bernoulli berikut: $${p_1} + \frac{1}{2}\rho {v_1}^2 + \rho g{y_1} = {p_2} + \frac{1}{2}\rho {v_2}^2 + \rho g{y_2}$$ Perhatikan suku-suku yang mengandung $\rho $ yaitu $\frac{1}{2}\rho {v^2}$ dan $\rho gy$.

Jika kita gunakan definisi kerapatan atau massa jenis, yaitu $\rho = \frac{m}{V}$ , maka $$\frac{1}{2}\rho {v^2} = \frac{1}{2}\frac{m}{V}{v^2} = \frac{1}{2}m{v^2}/V$$ yang tidak lain adalah energi kinetik per satuan volume fluida atau biasa juga disebut kerapatan energi kinetik.

Demikian halnya untuk $\rho gy$ , jika kita masukkan definisi massa jenis, maka kita akan peroleh bahwa suku $\rho gy$ ini tidak lain adalah energi potensial fluida per satuan volume.

Selain bentuk persamaan di atas, persamaan Bernoulli dapat juga dituliskan dalam bentuk yang setara dengan persamaan tersebut, yaitu: $$p + \frac{1}{2}\rho {v^2} + \rho gy = {\rm{konstan}}$$ Jika zat cair mengalir melalui pipa yang rata, tidak menanjak seperti gambar di atas, maka persamaan Bernoulli menjadi $${p_1} + \frac{1}{2}\rho {v_1}^2 = {p_2} + \frac{1}{2}\rho {v_2}^2$$ Hasil di atas diperoleh jika kita masukkan y₁ = y₂, yaitu ketinggian kedua ujung pipa sama.

Sekarang, mari kita melihat bagaimana menerapkan hukum kekekalan energi pada situasi dalam gambar di atas untuk mendapatkan Persamaan Bernoulli yang telah kita tulis sebelumnya.

Sistem yang kita tinjau adalah keseluruhan zat cair yang ada dalam pipa yang diperlihatkan dalam  gambar.

Hukum kekekalan energi akan kita gunakan pada sistem yang bergerak dari keadaan awal yang ditunjukkan dalam gambar (a) menuju keadaan akhirnya (ditunjukkan dalam gambar (b)). Perhatikan bahwa zat cair yang kita tinjau yang terletak antara antara dua bidang vertikal yang terpisah sejarak L tidak berubah sifat-sifatnya selama zat cair ini bergerak. Oleh karena itu kita hanya akan meninjau bagian zat cair yang mengalami perubahan yaitu pada bagian input dan bagian output saja.

Pertama, kita gunakan kekekalan energi yang dinyatakan dalam teorema usaha-energi kinetik, $$W = \Delta K$$  Dengan $\Delta K$ adalah perubahan energi kinetik.

Teorema usaha energi kinetik ini menyatakan bahwa perubahan energi kinetik sistem kita harus sama dengan usaha total yang bekerja pada sistem.

Perubahan energi kinetik terjadi akibat adanya perubahan kelajuan di ujung-ujung pipa yang besarnya adalah $$\Delta K = \frac{1}{2}\Delta m{v_2}^2 – \frac{1}{2}\Delta m{v_1}^2$$ Dengan $\Delta m$ adalah massa zat cair yang masuk ke dalam bagian input yaitu ujung pipa sebelah kiri dan massa zat cair yang meninggalkan bagian output pada ujung pipa sebelah kanan dalam rentang waktu $\Delta t$ yang singkat.

Karena $\rho = \frac{{\Delta m}}{{\Delta V}}\ \ \Rightarrow \ \ \Delta m = \rho \Delta V$, dengan $\Delta V$ adalah volume zat cair yang massanya $\Delta m$, maka $$\Delta K = \frac{1}{2}\rho \Delta V{v_2}^2 – \frac{1}{2}\rho \Delta V{v_1}^2 = \frac{1}{2}\rho \Delta V\left( {{v_2}^2 – {v_1}^2} \right)$$ Usaha yang bekerja pada sistem zat cair kita ini berasal dari dua sumber, yaitu:

Pertama, perhatikan bahwa sistem zat cair kita mengalami perubahan ketinggian selama geraknya. Ini berarti terdapat usaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi atau gaya berat terhadap zat cair yang bermassa pada saat zat cair tersebut menanjaki ketinggian pipa. Usaha oleh gaya berat tersebut adalah $${W_g} = – \Delta m\ g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = – \rho g\ \Delta V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)$$ Usaha ini bernilai negatif karena arah perpindahan zat cair adalah ke atas sedangkan gaya gravitasi atau gaya berat arahnya ke bawah.  

Kedua, perlu ada usaha pada zat cair untuk mendorongnya agar masuk ke dalam ujung pipa input dan usaha oleh zat cair tersebut untuk mendorong bagian zat cair di depannya di ujung pipa output. Pada umumnya, usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya yang besarnya F, yang bekerja pada sampel zat cair yang berada dalam tabung dengan luas penampang A agar fluida tersebut secara keseluruhan berpindah sejauh $\Delta x$ dapat ditulis sebagai: $$F\ \Delta x = \left( {pA} \right)\left( {\Delta x} \right) = p\left( {A,\Delta x} \right) = p\ \Delta V$$ Dengan demikian, terlihat bahwa usaha yang dilakukan pada sistem adalah ${p_1}\ \Delta V$, sedangkan usaha yang dilakukan oleh sistem adalah $ – {p_2}\ \Delta V$.

Jumlah kedua usaha ini adalah $${W_p} = – {p_2}\ \Delta V + {p_1}\ \Delta V = – \left( {{p_2} – {p_1}} \right)\Delta V$$ Sekarang, hasil-hasil yang telah kita peroleh di atas kita masukkan ke dalam teorema usaha energi kinetik: $$W = {W_g} + {W_p} = \Delta K$$ Atau $$ – \rho g\ \Delta V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) – \Delta V\left( {{p_2} – {p_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho ,\Delta V({v_2}^2 – {v_1}^2)$$. Pada persamaan di atas, $\Delta V$ akan saling menghilangkan. Selanjutnya, dengan menyusun ulang suku-sukunya yang tersisa kita akan memperoleh persamaan Bernoulli seperti yang telah kita tuliskan sebelumnya, yaitu $${p_1} + \frac{1}{2}\rho {v_1}^2 + \rho g{y_1} = {p_2} + \frac{1}{2}\rho {v_2}^2 + \rho g{y_2}$$ Setelah menurunkan dan memahami tentang hukum Bernoulli, sekarang kita akan membahas beberapa contoh penerapan hukum Bernoulli.

Penerapan hukum Bernoulli dalam membuktikan hukum Toricelli

Sebuah tangki air yang besar, terbuka pada bagian ujungnya seperti diperlihatkan dalam gambar di bawah ini. Tangki tersebut memiliki sebuah lubang kecil di sisinya dengan jarak h dari permukaan air. Carilah kelajuan air saat mengalir melalui lubang kecil tersebut.

Pembahasan :

Dalam situasi soal ini, air mengalir dari permukaan paling atas air dan keluar melalui lubang kecil pada tangki.

Mari kita gunakan hukum Bernoulli pada titik a dan b dalam gambar.

Karena diameter lubang jauh lebih kecil dibandingkan dengan diameter permukaan tangki, maka kelajuan berkurangnya air (kelajuan penurunan permukaan air) jauh lebih kecil dibandingkan dengan kelajuan pancaran air keluar dari lubang kecil.

Dengan demikian, kecepatan aliran air di a, yaitu  v_a dapat diabaikan atau v_a = 0. Persamaan Bernoulli menjadi, $${p_a} + \frac{1}{2}\rho {v_a}^2 + \rho g{h_a} = {p_b} + \frac{1}{2}\rho {v_b}^2 + \rho g{h_b}$$ Atau $${p_a} + \rho g{h_a} = {p_b} + \frac{1}{2}\rho {v_b}^2 + \rho g{h_b}$$ Karena kedua titik, yaitu titik a dan titik b, memiliki tekanan yang sama yaitu tekanan atmosfer, maka p_a dan p_b, saling menghilangkan sehingga persamaan di atas menjadi $$rho g{h_a} = \frac{1}{2}\rho {v_b}^2 + \rho g{h_b}$$ Karena semua suku dalam tiap ruas mengandung $\rho $, maka $\rho $ dapat dihilangkan pada persamaan di atas.

Selanjutnya, kita tuliskan persamaan tersebut untuk menentukan v_b yaitu $${v_b}^2 = 2g\left( {{h_a} – {h_b}} \right)\ \ \Rightarrow \ \ {v_b} = \sqrt {2g\left( {{h_a} – {h_b}} \right)}$$ Perhatikan bahwa h_a – h_b pada persamaan terakhir di atas tidak lain merupakan ketinggian permukaan air dari lubang. Hasil di atas mengatakan bahwa kecepatan air yang keluar dari lubang sama dengan kecepatannya jika air itu dijatuhkan secara bebas dari ketinggian h yang sama. Pernyataan ini dikenal sebagai hukum Toricelli.

Persamaan Bernoulli dan Efek Venturi

Perhatikan gambar berikut ini.

Sebuah zat cair mengalir dalam pipa horizontal yang memiliki bagian yang menyempit di tengah. Karena kedua bagian pipa berada pada ketinggian yang sama, yaitu y₁ = y₂, maka persamaan Bernoulli akan memberikan $$P + \frac{1}{2}\rho {v^2} = {\rm{konstan}}$$ Ketika saat zat cair memasuki area yang sempit pada pipa, maka kecepatannya akan bertambah besar, karena hasil kali antara luas penampang dengan kecepatan zat cair yang mengalir memasukinya harus konstan. Tetapi menurut persamaan di atas, $P + \frac{1}{2}\rho {v^2}$ harus konstan sehingga saat kecepatan bertambah besar, maka tekanan harus berkurang. Dengan demikian, tekanan di dalam bagian pipa yang sempit menjadi berkurang.

Saat udara, atau fluida lainnya, mengalir melalui sebuah penyempitan, maka kecepatan fluida itu akan bertambah dan tekanannya akan berkurang. Peristiwa ini disebut dengan efek Venturi dan bagian pipa yang menyempit itu diistilahkan dengan venturi.

Mobil-mobil balap memanfaatkan efek Venturi ini untuk memperbesar gaya ke bawah pada mobil. Peningkatan gaya ke bawah ini akan memperbesar gaya normal yang bekerja pada mobil. Peningkatan gaya normal pada gilirannya akan memperbesar gaya gesekan statis sehingga akan lebih memudahkan mengontrol kecepatan dan arah mobil.

Gambar berikut ini menunjukkan sebuah pipa venturi yang dihubungkan ke sebuah zat cair yang terdapat dalam gelas.

Ketika bola karet ditekan, maka udara dalam pipa akan bergerak. Saat udara ini memasuki daerah venturi, kecepatannya akan bertambah dan tekanannya akan berkurang. Akibat pengurangan tekanan ini, zat cair yang ada di dalam gelas, yang berada pada tekanan yang lebih tinggi di bandingkan tekanan pipa venturi, akan bergerak ke atas melalui pipa vertikal sampai dan memasuki daerah aliran udara. Akibatnya zat cair tersebut akan tersembur keluar di ujung pipa venturi tersebut.

Hukum Bernoulli pada Tabung Pitot untuk Mengukur Kecepatan Udara

Tabung pitot adalah alat yang digunakan untuk mengukur kecepatan udara pada pesawat. Alat ini terdiri atas sebuah tabung luar yang memiliki sejumlah lubang B (empat di antaranya diperlihatkan dalam gambar) yang memungkinkan udara masuk ke dalam tabung. Tabung tersebut dihubungkan dengan salah satu ujung lengan tabung U. Ujung lengan lain tabung U dihubungkan ke lubang A yang terletak pada bagian depan alat. Lubang A ini arahnya searah dengan arah pesawat. Di titik A udara menjadi stagnan sehingga vA = 0. Tetapi di titik B kelajuan udara dianggap sama dengan kelajuan udara terhadap pesawat.

(a) Dengan menggunakan persamaan Bernoulli, buktikan bahwa $$v = \sqrt {\frac{{2\rho gh}}{{{\rho _{udara}}}}}$$ dengan $\rho $ adalah massa jenis zat cair dalam tabung U dan h adalah perbedaan ketinggian permukaan cairan.

(b) Anggaplah tabung diisi dengan alkohol. Perbedaan ketinggian permukaan alkohol pada tabung U adalah 26,0 cm. Berapakah kecepatan pesawat relatif terhadap udara? Diketahui : ${\rho _{udara}} = 1,03$ kg/m³ dan $\rho $ alkohol adalah 810 kg/m³.

Pembahasan :

(a) Kita gunakan persamaan Bernoulli dengan meninjau titik A dan titik B $${p_A} + \frac{1}{2}{\rho _{udara}}{v_A}^2 + {\rho _{udara}}g{h_A} = {p_B} + \frac{1}{2}{\rho _{udara}}{v_B}^2 + {\rho _{udara}}g{h_B}$$ Karena tabung datar, maka h_A = h_B. Kecepatan udara di titik A nol atau v_A = 0, dan kita akan menghitung v_B.

Dengan informasi ini, kita dapat menuliskan persamaan di atas menjadi: $${p_A} = {p_B} + \frac{1}{2}\rho {v_B}^2\ \ \Rightarrow \ \ {v_B}^2 = \frac{2}{{{\rho _{udara}}}}\left( {{p_A} – {p_B}} \right)$$ Pada persamaan di atas ${p_A} – {p_B}$, dapat diperoleh dengan meninjau keadaan zat cair dalam tabung U.

Tekanan di lengan kiri pipa U adalah p_A dan tekanan di lengan kanan pipa U adalah p_B. Terdapat perbedaan ketinggian permukaan zat cair dalam pipa U sehingga berlaku $${p_A} = {p_B} + \rho gh\ \ {\rm{atau}}\ \ {p_A} – {p_B} = \rho gh$$ Dengan memasukkan hasil di atas ke dalam persamaan sebelumnya, kita peroleh $${v_B}^2 = \frac{2}{{{\rho _{udara}}}}\left( {\rho gh} \right)$$ Atau $${v_B} = \sqrt {\frac{{2\rho gh}}{{{\rho _{udara}}}}}$$ Dengan $\rho $ adalah massa jenis zat cair dalam tabung U.

(b) Untuk h = 26,0 cm = 0,26 m, km/m³ dan kg/m³, maka kecepatan pesawat terhadap udara adalah $$v = \sqrt {\frac{{2\left( {810} \right)\left( {0,26} \right)}}{{1,03}}} \cong 63,32\ {\rm{m/s}}$$

Jika tabung pitot berada pada sebuah pesawat udara mengukur perbedaan tekanan sebesar 180 Pa. Berapa kecepatan pesawat tersebut jika massa jenis udara adalah 0,031 kg/m³?

Penyelesaian :

Dengan menggunakan persamaan yang telah diperoleh pada soal sebelumnya, yaitu $${v_B}^2 = \frac{2}{{{\rho _{udara}}}}\left( {{p_A} – {p_B}} \right)$$ Atau $${v_B} = \sqrt {\frac{2}{{{\rho _{udara}}}}\left( {{p_A} – {p_B}} \right)}$$ Kita akan memperoleh $${v_B} = \sqrt {\frac{2}{{0,031}}\left( {180} \right)} = \sqrt {11612,7} = 1,078 \times {10^2} \cong 1,1 \times {10^2}\ {\rm{m/s}}$$ Nah, itulah sejumlah contoh tentang penerapan hukum Bernoulli. Contoh lain yang juga cukup penting adalah penerapan hukum Bernoulli pada sayap pesawat terbang yang telah banyak dibahas di blog-blog lainnya.

Selamat belajar!