Vektor dan Cara Penjumlahannya dengan Metode Geometri

Ketika kita mempelajari fisika, banyak sekali besaran yang memiliki nilai dan arah. Besaran seperti ini disebut dengan besaran vektor. Untuk besaran-besaran seperti ini, fisika harus menggunakan bahasa matematika tertentu, yaitu matematika vektor. Anda akan mempelajari matematika vektor pada tingkat sekolah yang lebih tinggi.

Pada pembahasan kita tentang gerak sepanjang garis lurus, atau gerak lurus, kita meninjau tentang benda yang bergerak sepanjang lintasan yang berbentuk garis lurus. Dalam lintasan ini ada dua arah yang mungkin ditempuh oleh benda. Kita biasanya menandai arah ke sebelah kanan sebagai positif sedangkan arah ke sebelah kiri sebagai arah negatif. Untuk gerak satu dimensi, misalnya pada gerak lurus, kedua penandaan ini sudah cukup untuk menyatakan arah. Tetapi hal ini tidak akan mencukupi kalau kita berbicara tentang gerak dalam sebuah bidang.

Sebagai gantinya, kita harus menggunakan vektor.

Apa itu vektor?

Seperti yang telah dikemukakan dalam paragraf pertama tulisan ini, vektor adalah sebuah besaran yang memiliki nilai sekaligus arah. Contohnya adalah kecepatan, percepatan, perpindahan, gaya, dan sebagainya. Semua besaran-besaran yang telah disebutkan tadi selain memiliki nilai juga harus dinyatakan arahnya. Misalnya, kecepatan harus dinyatakan dengan 45 km/jam ke arah utara. Jika Anda hanya mengatakan 45 km/jam saja (Anda hanya menyatakan besar kecepatannya saja) berarti yang Anda maksudkan itu adalah kelajuan bukan kecepatan karena kelajuan adalah besaran skalar.

Apa itu besaran skalar?

Besaran skalar adalah besaran yang cukup dinyatakan nilainya saja. Misalnya kelajuan, volume, temperatur, massa, dan sebagainya. Ketika Anda menyatakan massa, maka Anda tinggal mengatakan bahwa massanya adalah 30 kg, tanpa perlu diperjelas apakah arahnya ke atas, ke bawah, ke kiri, atau ke kanan bukan? Demikian pula ketika Anda akan mengatakan tentang kelajuan benda, Anda tinggal mengatakan bahwa kelajuannya adalah 50 km/jam tanpa perlu menyatakan kemana arahnya. Hal itu karena baik massa maupun kelajuan adalah besaran skalar.

Berapa temperatur ruangan sekarang?

Mungkin jawaban Anda adalah 35oC. Perlukah dinyatakan kemana arahnya? Tentu tidak perlu karena malah akan membingungkan. Jadi temperatur adalah besaran skalar.

Gaya apa yang menarik benda yang dilempar vertikal ke atas hingga lama-lama dia berhenti di titik puncak? Jawabannya adalah gaya berat atau gaya gravitasi. Kemana arahnya? Gaya gravitasi arahnya ke bawah yaitu mengarah ke pusat bumi. Itulah sebabnya benda akan berhenti dari geraknya karena tertarik oleh gaya gravitasi ini ke bawah. Nah, ini berarti gaya adalah sebuah besaran vektor karena besaran ini harus dinyatakan baik besar maupun arahnya.

Mari kita pahami sedikit lebih detail tentang vektor dan makna pentingnya dalam fisika dengan mendiskusikan sebuah besaran vektor yang paling sederhana dalam fisika yaitu vektor posisi dan vektor perpindahan.


Apa itu vektor perpindahan?

Vektor perpindahan merupakan vektor yang menyatakan perpindahan benda dari satu posisi ke posisi berikutnya. Perhatikan gambar berikut.Sebuah benda titik berada di titik A. Kita dapat menyatakan posisi titik tersebut dengan menggunakan vektor posisi seperti pada gambar (a) dalam gambar berikut.


Vektor posisi ini digambarkan berupa tanda panah yang ditarik secara garis lurus dari titik acuan ke tempat (posisi) titik tersebut. Jadi tanda panah ini mewakili vektor posisi. Karena panah tersebut adalah vektor posisi maka tentu Anda tergoda untuk bertanya, berapa nilai posisinya? Dan ke mana arah posisinya?

Pertanyaan yang sangat tepat.

Nilai besaran vektor yang diwakili oleh vektor tersebut dapat ditentukan dari panjang garis panah tersebut. Sedangkan arahnya dinyatakan dengan besar sudut yang dibentuk oleh garis panah tersebut dari arah horizontal (sumbu x) yang diukur berlawanan arah jarum jam.

Berdasarkan gambar (a), kita dapat menghitung nilai posisi dan arahnya berdasarkan persamaan sisi miring segitiga dan definisi tangen sudut, yaitu

s2 = x2 + y2  dan    

Beberapa saat kemudian, benda titik yang kita bicarakan di atas tersebut kemudian berpindah di titik B. Sekarang, vektor posisi di titik B ditunjukkan dalam gambar (b). Anda bisa menghitung berapa nilai dan arahnya.

Pada gambar (c), sebuah tanda panah yang pangkalnya di titik A dan ujungnya di titik B digambarkan. Panah inilah yang menyatakan vektor perpindahan dari titik A ke titik B (garis panah hijau pada gambar (c)).

Berapa besar dan arah vektor perpindahan tersebut?

Kita bisa menghitungnya dengan menggunakan kembali persamaan sisi miring segitiga dan definisi tangen sudut seperti sebelumnya.

Perlu diingat baik-baik bahwa vektor perpindahan tidak memberikan informasi apa-apa tentang lintasan yang dilalui oleh partikel tetapi hanya menyatakan efek keseluruhan dari gerak yang dinyatakannya, bukan tentang gerak itu sendiri. Anda bisa memperhatikan gambar berikut ini untuk memahami apa yang dimaksudkan dengan pernyataan itu.


Penjumlahan vektor

Bagaimana cara menjumlahkan vektor?

Ada dua cara yang bisa dilakukan, yaitu cara geometrik dan cara analitik. Cara geometrik berarti kita melakukan penjumlahan vektor dengan menggunakan gambar geometri sedangkan cara analitik berarti kita melakukan penjumlahan vektor dengan cara rumus-rumus matematika.

Penjumlahan Vektor secara geometri

Misalkan sebuah partikel berpindah dari titik A ke titik B dan selanjutnya dari titik B ke titik C. Kita dapat menyatakan perpindahan keseluruhannya dengan menggunakan dua vektor perpindahan yang berurutan, yaitu vektor AB yang dinyatakan dengan panah dari A ke B dan vektor BC yang dinyatakan dengan panah dari B ke C.

Perhatikan gambar berikut. Garis melengkung berwarna merah menyatakan lintasan sesungguhnya dari benda tersebut, sedangkan panah biru dari A ke B menyatakan vektor AB, yaitu vektor perpindahan dari titik A ke titik B dan panah biru dari B ke C menyatakan vektor BC, yaitu vektor perpindahan dari titik B ke titik C.


Garis panah dari A ke C, yaitu panah yang berasal dari titik pangkal vektor AB ke titik ujung vektor BC kita sebut dengan vektor jumlah atau vektor resultan antara vektor AB dengan vektor BC. Pada gambar (b) di atas, kita gambarkan ulang vektor-vektor pada gambar (a) dan memberi label vektor-vektor tersebut dengan sebuah tanda panah di atas labelnya, misalnya . Pemberian tanda seperti itu merupakan cara yang sudah disepakati untuk menyatakan vektor.

Kita dapat menyatakan gambar (b) dalam dengan sebuah persamaan matematika



Yang berarti bahwa vektor s merupakan vektor hasil jumlah dari vektor a dan vektor b.

Dari gambar b di atas, kita dapat melihat bagaimana menjumlahkan dua buah vektor secara grafik (geometri). Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Gambarkan vektor pertama yang akan dijumlahkan. Dalam gambar di atas adalah vektor a. Perhatikan arah dan panjang panah vektor tersebut karena menyatakan arah dan besar vektor yang digambarkan. Anda harus menggunakan skala yang sesuai.
  2. Gambarkan vektor ketua yang akan dijumlahkan dengan cara: letakkan pangkal vektor kedua tersebut di ujung vektor pertama, arahkan panah vektornya sesuai dengan arah vektor tersebut dan besarnya (nilainya) disesuaikan dengan panjang panahnya. Pada gambar di atas adalah vektor b.
  3. Vektor hasil jumlah (vektor resultan), untuk gambar di atas adalah vektor s, diperoleh dengan menarik panah yang pangkalnya di pangkal vektor pertama dan ujungnya di ujung vektor kedua. Perhatikan baik-baik gambar di atas. Itulah vektor resultannya. Jika Anda menggambarkan besar dan arah-arah vektor yang dijumlahkan dengan benar, maka panah yang menyatakan vektor resultan ini akan memberikan nilai dan arah vektor yang dinyatakannya dengan tepat.

Bagaimana? Anda bisa menyatakan penjumlahan vektor secara geometri?

Coba Anda gambarkan penjumlahan vektor  !

Persamaan di atas menyatakan bahwa vektor s merupakan vektor hasil jumlah antara vektor b dengan vektor a. Ini merupakan kebalikan dari penjumlahan yang kita bahas sebelumnya.

Jika Anda melakukannya dengan benar, maka Anda akan peroleh hasil seperti gambar berikut ini.


Berdasarkan hasil di atas, dan membandingkannya dengan gambar hasil penjumlahan vektor , maka kita akan melihat bahwa hasil penjumlahannya memberikan vektor yang sama. Dengan demikian ini berarti bahwa .

Begitulah cara menjumlahkan vektor secara geometri. Jika vektor-vektor yang akan Anda jumlahkan lebih dari 3 vektor, Anda dapat melakukannya dengan menjumlahkan dua vektor yang pertama lebih dahulu. Selanjutnya Anda menjumlahkan vektor ketiga dengan vektor hasil jumlah kedua vektor yang pertama tadi.

Berikut ini beberapa contoh bagaimana menerapkan apa yang telah kita diskusikan di atas.

Contoh 1

Pada bulan Maret, salju akan jatuh kembali di California setelah di bagian selatannya mengalami musim gugur. Jika salju tersebut bergerak ke arah utara dan menempuh jarak 200 km pada hari pertama, 300 km pada hari kedua, dan 250 km pada hari ketiga, gambarkan sebuah diagram vektor yang menyatakan perjalanan salju tersebut serta berapakah perpindahan total salju selama tiga hari tersebut?

Jawab:

Karena salju terus bergerak dalam arah yang sama selama tiga hari tersebut, maka gambar vektornya adalah sebagai berikut.


Catatan: (1) biasanya arah ke atas diambil sebagai arah utara namun dalam penyelesaian di atas kita sengaja mengambilnya ke arah kanan agar menghemat ruang halaman. (2) vektor resultan sengaja digambarkan terpisah dari ketiga vektor penyusunnya agar kelihatan jelas (tidak bertumpuk).

Contoh 2

Pada buku rekor dunia, ada sekelompok pria yang menganggap diri mereka memiliki gigi yang sangat kuat sehingga bisa digunakan untuk menggerakkan mobil, kereta api, dan helikopter. Salah satu dari laki-laki yang punya kemampuan seperti itu bernama Joe Ponder dari Love Valley, Carolina Utara. Andaikan sebuah mobil bergerak ke depan karena bekerja gaya sebesar 20 000 N. Mobil tersebut diikatkan dengan sebuah tali yang kuat dimana Joe menggigit ujungnya yang lain. Dengan giginya, Joe menarik mobil tersebut dengan gaya sebesar 25 000 N. Gambarkan sebuah diagram vektor yang menyatakan hal di atas dan carilah gaya resultannya.

Jawab

Misalkan gaya yang menggerakkan mobil sebesar 20 000 N berarah ke kanan, sedangkan gaya yang dihasilkan oleh Joe berlawanan arah dengan arah gerak mobil, yaitu 25 000 N ke kiri. Kita dapat menggambarkan peristiwa tersebut dengan diagram vektor di atas.


Vektor resultannya di tunjukkan oleh garis panah merah, yang besar dan arahnya adalah
25 000 N – 20 000 N = 5 000 N dalam arah yang sama dengan arah tarikan Joe.

Wow, gigi yang kuat, Joe!

Contoh 3

Misalkan Mark Mc Gwire memukul sebuah bola baseball ke arah barat dengan kecepatan 50,0 m/s, kemudian bola baseball tersebut mengalami dorongan angin yang bertiup dengan kecepatan 5,0 m/s ke utara, berapakah resultan kecepatan baseball tersebut?

Jawab

Ada dua vektor yang akan kita jumlahkan, yaitu vektor kecepatan bola akibat pukulan Mark ke barat dan vektor kecepatan bola akibat tiupan angin ke utara. Gambar vektornya sebagai berikut.


Untuk menghitung besar kecepatan resultan, kita gunakan rumus phytagoras

Vektor kecepatan bola karena pukulan, misalkan disimbol vA

Vektor kecepatan bola karena tiupan angin, misalkan disimbol vB

Maka menurut rumus phytagoras





Arahnya bisa dicari dengan menggunakan persamaan



Contoh 4

Keluarga Arman melakukan perjalanan liburan. Mereka mengendarai mobil 700 km ke arah barat. Selanjutnya mereka mengarah ke selatan 600 km, 300 km ke timur, dan 400 km ke utara. Dimanakah posisi keluarga Arman terakhir diukur relatif terhadap titik startnya?

Jawab:

Begitulah empat contoh bagaimana menerapkan pengetahuan kita tentang vektor yang baru saja kita pelajari. Bagaimana dengan penjumlahan vektor secara analitik?

Penjumlahan vektor secara analitik kita akan bahas pada tulisan berikutnya.
Vektor dan Cara Penjumlahannya dengan Metode Geometri Vektor dan Cara Penjumlahannya dengan Metode Geometri Reviewed by Aska Gifari on Kamis, Februari 05, 2015 Rating: 5

Tidak ada komentar:

Diberdayakan oleh Blogger.