Tulisan ini merupakan penyelesaian dari tugas topik osilasi gerak harmonik sederhana. Terdapat 4 nomor soal sebagai berikut.
Lompat baca ke bagian berikut :
Soal 1: Menyatakan Posisi Benda yang Mengalami Gerak Harmonik Sederhana
Sebuah balok bermassa m tanpa gesekan diikatkan dengan sebuah pegas ideal dengan konstanta pegas 300 N/m. Pada saat t = 0, pegas berada dalam keadaan tanpa mengalami pertambahan maupun pengurangan panjang dan balok sedang bergerak dalam arah negatif dengan kelajuan 12,0 m/s. Tentukanlah (a) amplitudo osilasi, (b) sudut fase (c) tuliskan persamaan yang menyatakan posisi balok sebagai fungsi dari waktu.
Penyelesaian:
Posisi balok setiap saat diberikan oleh persamaan
$$x = A\cos \left( {\omega t + \phi } \right)$$
Saat t = 0, pegas tidak mengalami perubahan panjang berarti x = 0. Jika kita masukkan kondisi ini ke dalam persamaan (1) maka diperoleh
$$0 = A\cos \phi \,\, \to \,\,\cos \phi = 0$$
Nilai $\phi $ yang memenuhi persamaan di atas adalah $\phi = \phi/2 $.
Saat t = 0, kecepatan balok adalah vo = -12,0 m/s. Masukkan kondisi ini ke dalam persamaan kecepatan benda berosilasi setiap saat akan diperoleh:
$$v = \frac{{dx}}{{dt}} = – \omega A\sin \left( {\omega t + \phi } \right)\,\, \to \,\, – 12 = \omega A\sin \phi $$
Untuk  akan diperoleh:
$$A = \frac{{12}}{\omega }$$
Dengan $\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} $
Jadi,
$$A = \frac{{12}}{{\sqrt {k/m} }} = \frac{{12\sqrt m }}{{\sqrt k }} = \frac{{12\sqrt m }}{{10\sqrt 3 }}$$
b. Dari perhitungan bagian a di atas diperoleh bahwa sudut fase $\phi = \frac{\pi }{2}$.
c. Persamaan yang menyatakan posisi balok setiap saat adalah
$$x(t) = \frac{{12}}{\omega }\cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)$$
Soal 2: Gerak Osilasi pada Garpu Tala
Ujung sebuah garpu tala mengalami gerak vibrasi lengkap sebanyak 440 kali dalam waktu 0,500 sekon. Carilah frekuensi sudut dan periode gerak vibrasi garpu tala tersebut.
Penyelesaian
Diketahui jumlah vibrasi 440 kali dalam waktu 0,500 sekon, akan ditentukan frekuensi sudut dan periode gerak vibrasi.
Frekuensi adalah berapa banyak vibrasi yang terjadi dalam waktu satu detik. Jadi:
frekuensi = 440/0,500 = 880 Hz.
Berdasarkan persamaan: $\omega = 2\pi f$Â dapat ditentukan frekuensi sudut
$\omega = 2\pi \left( {880} \right) = 1760\pi = 5526,4$ rad/s
Sedangkan periode T = 1/f = 1/880 = 1,14 x 10-3 sekon
Soal 3: Energi pada Gerak Harmonik Sederhana
Persamaan gerak pendulum fisis diberikan sebagai berikut
$$\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}} + \frac{{mgl}}{I}\theta = 0$$
Solusi persamaan di atas adalah
$$\theta = {\theta _o}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)$$
Tinjaulah sebuah bandul (pendulum) matematis. Buktikan bahwa energi mekanik bandul tersebut adalah konstan yaitu sebesar
$$E = \frac{1}{2}\frac{{mg}}{l}{A^2}$$
Penyelesaian:
Untuk bandul matematis, I = ml2 sehingga persamaan di atas akan menjadi
$$\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}} + \frac{{mgl}}{{m{l^2}}}\theta = 0\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}} + \frac{g}{l}\theta = 0$$
Energi total bandul adalah jumlah antara energi kinetik dan energi potensial, yaitu
Etotal = K + V = Emekanik
Energi kinetik K ditentukan dengan persamaan:
$$K = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m{\left( {r\omega } \right)^2}$$
Untuk bandul yang ditinjau, r = l dan $\omega = \frac{{d\theta }}{{dt}} = – \omega {\theta _0}\cos \left( {\omega t + \phi } \right)$
Masukkan kedua nilai di atas ke dalam persamaan energi kinetik, diperoleh
$$K = \frac{1}{2}m{l^2}{\omega ^2}{\theta _0}^2{\cos ^2}\left( {\omega t + \phi } \right)$$
Selanjutnya kita perlu menentukan energi potensial bandul V. Energi potensial bandul timbul sebagai akibat perubahan ketinggian bandul seperti diperlihatkan dalam gambar berikut ini.
Berdasarkan gambar dapat ditentukan bahwa h = l – l cos q = l (1 – cos q)
Dengan demikian, energi potensial V adalah
$$V = mgh = mgl\left( {1 – \cos \theta } \right)$$
Untuk sudut q yang cukup kecil, cos q dapat diambil bernilai: $\cos \theta \cong 1 – \frac{{{\theta ^2}}}{2}$ sehingga
$$V = mgl\left( {1 – 1 + \frac{{{\theta ^2}}}{2}} \right) = \frac{{mgl}}{2}{\theta ^2}$$
Dengan memasukkan $\theta = {\theta _0}\cos \left( {\omega t + \phi } \right)$ maka diperoleh
$$V = \frac{{mgl}}{2}{\theta _o}^2{\cos ^2}\left( {\omega t + \phi } \right)$$
Selanjutnya energi total kita peroleh dengan menjumlahkan K dengan V yaitu
$${E_{tot}} = K + V = \frac{1}{2}m{l^2}{\omega ^2}{\theta _0}^2{\cos ^2}\left( {\omega t + \phi } \right) + \frac{{mgl}}{2}{\theta _o}^2{\cos ^2}\left( {\omega t + \phi } \right)$$
Dengan menggunakan hubungan ${\omega ^2} = g/l$Â maka persamaan di atas menjadi
$${E_{tot}} = \frac{1}{2}mgl{\theta _0}^2\left( {{{\cos }^2}\left[ {\omega t + \phi } \right] + {{\sin }^2}\left[ {\omega t + \phi } \right]} \right) = \frac{1}{2}mgl{\theta _0}^2$$
Amplitudo A dapat dihubungkan dengan $ \theta_0 $ melalui persamaan $ \theta_0 = \frac {A}{l} $ untuk sudut $ \theta $ yang kecil sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
$${E_{tot}} = \frac{1}{2}\frac{{mg}}{l}{A^2}$$
Hasil terakhir di atas menunjukkan bahwa energi total bandul adalah konstan seperti halnya pada sistem pegas-massa.
Soal 4: Gerak Harmonik Sederhana pada Rangkaian Listrik
Sebuah kapasitor dirangkai sering dengan sebuah induktor seperti pada gambar berikut.
Misalkan muatan mula-mula yang ada dalam kapasitor adalah qo. Jika sakelar ditutup saat t = 0, apakah arus listrik dalam rangkaian ini akan berosilasi? Jika, ya berapakah frekuensi osilasinya? Bisakah Anda menuliskan persamaan yang menyatakan berapa besarnya arus listrik dalam rangkaian setiap saat?
Penyelesaian:
Muatan kapasitor mula-mula q0. Saat saklar ditutup, maka dengan menggunakan hukum tegangan Kirchoff pada rangkaian tertutup akan diperoleh:
$${V_C} + {V_L} = 0\,\, \Rightarrow \,\,\frac{q}{C} + L\frac{{dI}}{{dt}} = 0$$
Karena I = dq/dt, maka persamaan di atas menjadi
$$L\frac{{{d^2}q}}{{d{t^2}}} + \frac{q}{C} = 0$$
atau
$$\frac{{{d^2}q}}{{d{t^2}}} + \frac{1}{{LC}}q = 0$$
Persamaan di atas menunjukkan persamaan gerak osilasi untuk variabel muatan q dengan frekuensi osilasi $\omega = \sqrt {\frac{1}{{LC}}} $
Solusi persamaan di adalah
$$q = {q_0}\cos \left( {\omega t + \phi } \right)$$
Untuk mendapatkan persamaan arus, kita gunakan definisi arus yaitu I = dq/dt,
sehingga diperoleh
$$i = \frac{{dq}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\left( {{q_o}\cos \left[ {\omega t + \phi } \right]} \right) = – \omega {q_0}\sin \left( {\omega t + \phi } \right)$$
Itulah penyelesaian empat soal tentang gerak osilator sederhana. Semoga bermanfaat.
